[理學(xué)]復(fù)變函數(shù)第五章(已修改)
2024-12-20 00:49 本頁面
【正文】 第五章 留數(shù) 第一節(jié) 孤立奇點(diǎn) 第二節(jié) 留數(shù) 第一節(jié) 孤立奇點(diǎn) 一、孤立奇點(diǎn)的概念 二、函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系 三、函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài) 四、小結(jié)與思考 一、孤立奇點(diǎn)的概念 定義 如果 函數(shù) 0z)(zf 在 不解析 , 但 )(zf 在 0z的某一去心鄰域 ???? 00 zz 內(nèi)處處解析 , 則稱 0z )(zf為 的孤立奇點(diǎn) . 例 1 0?z 是函數(shù) z ze z sin,1的孤立奇點(diǎn) . 1??z 是函數(shù) 11?z 的孤立奇點(diǎn) . 注意 : 孤立奇點(diǎn)一定是奇點(diǎn) , 但奇點(diǎn)不一定是孤 立奇點(diǎn) . 例 2 指出函數(shù) 0?z在點(diǎn) zzzf 1s i n)(2?的奇點(diǎn)特性 . 解 ??? kzz1,0 ),2,1( ????k，因?yàn)?01l i m ???? kk即在 0?z 的不論怎樣小的去心鄰域內(nèi) , 的奇點(diǎn)存在 , 函數(shù)的奇點(diǎn)為 )(zf總有 0?z 不是孤立奇點(diǎn) . 所以 孤立奇點(diǎn)的分類 依據(jù) )(zf 在其孤立奇點(diǎn) 0z 的去心鄰域 ???? 00 zz 內(nèi)的洛朗級數(shù)的情況分為三類 : 1． 可去奇點(diǎn) 1．可去奇點(diǎn) 。 2．極點(diǎn) 。 3．本性奇點(diǎn) . 如果洛朗級數(shù)中不含 的負(fù)冪項(xiàng) , 0zz?0z )(zf那末孤立奇點(diǎn) 稱為 的可去奇點(diǎn) . 1) 定義 其和函數(shù) )(zF 為在 0z 解析的函數(shù) . ??????000,)()(zzczzzFzf說明 : (1) ,)(0 的孤立奇點(diǎn)若是 zfz.)()()( 0010 ?? ??????? nn zzczzcczf)0( 0 ???? zz)(l i m)(00zfzf zz ??,)( 00 czf ?(2) 無論 在 是否有定義 , )(zf 0z 補(bǔ)充定義 則函數(shù) 在 0z 解析 . )(zf 2) 可去奇點(diǎn)的判定 (1) 由定義判斷 : 的洛朗級數(shù)無負(fù) 0z)(zf 在 如果 冪項(xiàng)則 0z 為 )(zf 的可去奇點(diǎn) . (2) 判斷極限 :)(lim0zfzz? 若極限存在且為有限值 , 則 0z 為 )(zf 的可去奇點(diǎn) . 如果補(bǔ)充定義 : 0?z 時(shí) , ,1sin ?z z那末 z zsin 在 0?z 解析 . 例 3 ????? 42 !51!311s i n zzz z 中不含負(fù)冪項(xiàng) , 0?z 是 z zsin 的可去奇點(diǎn) . 例 4 說明 0?z 為 zez 1?的可去奇點(diǎn) . 解 ??zez 1,!1!211 1 ?? ????? ?nznz ???? z0所以 0?z 為 的可去奇點(diǎn) . zez 1?無負(fù)冪項(xiàng) 另解 zzzzeze00l i m1l i m????因?yàn)??z所以 的可去奇點(diǎn) . 為 zez 1?)1!1!211(1 2 ?????? ?? nznzzz,1?2. 極點(diǎn) 1012020 )()()()( ?????? ??????? zzczzczzczf mm ?)0,1( ?? ? mcm ????? )( 010 zzcc,)()( 1)(0zgzzzf m??10 )( ?? zz ,)( 0 mzz ??其中關(guān)于 的最高冪為 即 級極點(diǎn) . 0z )(zf m那末孤立奇點(diǎn) 稱為函數(shù) 的 或?qū)懗? 1) 定義 0zz?如果洛朗級數(shù)中只有有限多個(gè) 的 負(fù)冪項(xiàng) , 說明 : ??????? ????? 20201 )()()( zzczzcczg mmm1. 內(nèi)是解析函數(shù)在 ??? 0zz2. 0)( 0 ?zg特點(diǎn) : (1
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