[研究生入學(xué)考試]線性代數(shù)167(已修改)
2024-10-31 01:17 本頁面
【正文】 167。 向量的內(nèi)積、長度及正交性 一、向量內(nèi)積的定義及性質(zhì) 在解析幾何中有兩向量的 數(shù)量積 的概念 , 即設(shè) x, y為兩向量 , 則它們的數(shù)量積為 : x y = | x || y | cos? . 設(shè)向量 x, y 的坐標(biāo)表示式為 x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3), 則 x y = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 . ,|| 232221 xxxx ???.||||ar c c o s yx yx ???由此引出了向量的 長度 (即 模 )和兩向量 夾角 的概念 : 定義 1: 設(shè)有 n維向量 , 2121??????????????????????nn yyyyxxxx??[x, y] = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn, 稱 [x, y]為向量 x 與 y 的 內(nèi)積 . 說明 1. n(n?4)維向量的內(nèi)積是 3維向量 數(shù)量積 的推廣 . 但 n維向量沒有 3維向量直觀的幾何意義 . 說明 2. 內(nèi)積是向量的一種運(yùn)算 , 如果都是列向量 , 內(nèi)積可用矩陣記號(hào)表示為 : [x, y] = xT y. 我們把兩向量的 數(shù)量積 的概念向 n 維向量推廣 : 記 內(nèi)積的運(yùn)算性質(zhì) 設(shè) x, y, z為 n維向量 , ?為實(shí)數(shù) , 則 (1) [x, y] = [y, x]。 (2) [? x, y] = ?[x, y]。 (3) [x+y , z] = [x, z] + [y, z]。 (4) [x, x] ? 0, 當(dāng)且僅當(dāng) x=0時(shí)有 [x, x]=0. 二、向量的長度及性質(zhì) 稱 || x ||為 n維向量 x 的 長度 (或 范數(shù) ). ,],[|||| 22221 nxxxxxx ????? ?定義 : 令 向量的長度具有下述性質(zhì) : (1) 非負(fù)性 : || x || ? 0, 當(dāng)且僅當(dāng) x=0時(shí)有 || x || = 0。 (2) 齊次性 : || ? x|| = | ? | || x ||。 (3) 三角不等式 : || x+y || ? || x || + || y ||. ||||||||],[c o syxyx?? ,2262318 ???.4?? ?||||||||],[a r c c o syxyx??單位向量及 n 維向量間的夾角 (1)當(dāng) || x ||=1時(shí) , 稱 x為 單位向量 . (2)當(dāng) || x || ? 0, || y || ? 0 時(shí) , 稱為 n維向量 x 與 y 的 夾角 , 規(guī)定 0 ? ? ? ? . 例 1: 求向量 x = (1, 2, 2, 3)與 y = (3, 1, 5, 1)的夾角 . 解 : [x, y]=1?3+2?1+2?5+3?1=18, ,183221|||| 2222 ?????x,361513|||| 2222 ?????y所以 故 , 向量 x與 y 的夾角為 : 三、正交向量組的概念及求法 1. 正交的概念 2. 正交向量組的概念 若一非零向量組中的向量兩兩正交 , 則稱該向量組為 正交向量組 . 當(dāng) [x, y]=0時(shí) , 稱向量 x 與 y 正交 . 由定義知 , 若 x=0, 則 x與任何向量都正交 . 3. 正交向量組的性質(zhì) 定理 1: 若向量組 ?1, ?2, , ?r 是 n維正交向量組 , 則 ?1, ?2, , ?r 線性無關(guān) . 證明 : 設(shè)有數(shù) ?1, ?2, ,?r, 使得 : ?1?1 + ?2?2 + + ?r?r = 0 向量的正交是幾何空間中向量垂直概念的推廣 . 由于 ?1, ?2, , ?r 是 兩兩正交的非零向量組 , 當(dāng) i ? j 時(shí) , [?i, ?j]=?iT?j = 0, 當(dāng) i = j 時(shí) , [?i, ?i]=?iT?i ? 0, 則有 用 ?iT ( i =1, 2, , r )左乘上式得 , ?1?iT?1 + + ?i?iT?i + + ?r?iT?r = ?iT0 = 0, ?i?iT?i = 0. 即 從而得 , ?1=?2= =?r=0, 所以 ?1, ?2, ,?r 線性無關(guān) . 4. 向量空間的正交基 定義 : 若正交向量組 ?1, ?2, , ?r是向量空間 V的一組基 , 則稱 ?1, ?2, , ?r 是向量空間 V的一組 正交基 . 例 2: 已知三維向量空間中兩個(gè)向量 正交 . 試求 ?3使 ?1, ?2, ?3構(gòu)成三維空間的一組正交基 . ?1=(1, 1, 1)T, ?2=(1, –2, 1)T 即 .02],[ 0],[3213232131???????????xxxxxx????解之得 解 : 設(shè) ?3=(x1, x2, x3)T?0, 且分別與 ?1, ?2正交 . 則有 [?1, ?3]=[?2, ?3]=0, x1 = –x3, x2 = 0. .1013213 ???????? ???????????xxx?若令 x3 = 1, 則有 ,101,121,111321 ???????? ????????????????????? ???構(gòu)成三維空間的一組正交基 . 則 5. 規(guī)范正交基 .212100,212100,002121,0021214321?????????????????????????????????????????????????????? eeee例如 定義 : 設(shè) n維向量組 e1, e2, , er是向量空間 V?Rn的一組正交基 , 且都是單位向量 , 則稱 e1, e2, , er是向量空間 V的一組 規(guī)范 (單位 )正交基 . ).4,3,2,1,(10],[ ???? ???? jiji jiee ijji ?由于 所以 , e1, e2, e3, e4為 R4的一組規(guī)范正交基 . .1000,0100,0010,00014321???????????????????????????????????????????????????? ????同理可知 也為 R4的一組規(guī)范正交基 (即 單位坐標(biāo)向量組 ). 設(shè) e1, e2, , er是向量空間 V的一組規(guī)范正交基 , 則V中的任一向量 a可由 e1, e2, , er線性表示 , 設(shè)表示式為 : a =?1e1 + ?2e2 + + ?rer , 用 eiT左乘上式 , 有 eiTa =?i eiTei =?i , 即 ?i = eiTa = [a, ei], 這就是向量在規(guī)范正交基中的 坐標(biāo) (即 線性表示系數(shù) )的計(jì)算公式 . 利用該公式可方便地計(jì)算向量在規(guī)范正交基中的 坐標(biāo) , 因此我們常取向量空間的規(guī)范正交基 . 6. 求規(guī)范正交基的方法 已知 ?1, ?2, , ?r 是向量空間 V 的一組基 , 求 V 的一組規(guī)范正交基 , 就是要找一組兩兩正交的單位向量e1, e2, , er , 使 e1, e2, , er 與 ?1, ?2, , ?r 等價(jià) , 這樣一個(gè)問題稱為 把基 ?1, ?2, , ?r 規(guī)范正交化 . (1) 正交化 設(shè) a1, a2, , ar 是向量空間 V 的一組基 . ,],[ ],[ 1112122 bbbabab ??,],[ ],[],[ ],[ 222321113133 bbbabbbbabab ??? 取 b1 = a1, 111122221111],[],[],[],[],[],[?????????rrrrrrrrr bbbabbbbabbbbabab ? 則 b1, b2, , br兩兩正交 , 且 b1, b2, , br與 a1, a2, , ar等價(jià) . (2) 單位化 , 取 ,||||,||||,||||222111rrr bbebbebbe ??? ??則 e1, e2, , en是向量空間 V的一組 規(guī)范正交基 . 上述由線性無關(guān)向量組 a1, a2, , ar 構(gòu)造出正交向量組 b1, b2,
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