[理學(xué)]第六章幾個(gè)典型方程的定解問(wèn)題(已修改)
2024-10-31 01:03 本頁(yè)面
【正文】 第二篇 數(shù)學(xué)物理方程 Tips： 1. 請(qǐng)做好課前準(zhǔn)備工作 , 制作“學(xué)案” . 2. 請(qǐng)做好課后復(fù)習(xí) , 根據(jù)自己的學(xué)習(xí)狀況， 做學(xué)習(xí)筆記、做例題 或者 做習(xí)題 . 徐 師大 蔡俊 數(shù)學(xué)物理方程 緒論 ◆ 常微分方程 : 一個(gè)自變量 的函數(shù)滿足的方程 . ()dy fxdx ?◆ 若函數(shù)的自變量為 2個(gè)或更多 , 函數(shù)隨其中一個(gè) 自變量的變化為其 偏微分 . 例如函數(shù) u (x, t) xtd u u d x u d t??例如方程 全微分： 偏微分： xuux???例：寫出方程 和 的通解 ? 22( , ) 0u x yx? ??2 ( , )0u x yxy? ???◆ 數(shù)學(xué)物理方程 : 多個(gè)變量的函數(shù)滿足的 偏微分方程 。 2 ( , )t t x xu a u f x t??例如一維波動(dòng)方程： 例如： , 其解 不可疊加 . ◆ 線性方程 : 函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)均為 1 次 , 可作疊加 . ① 可疊加性 + ② 齊次性 例如： 線性算子 ： 1 1 2 2 1 1 2 2? ? ?( ) ( ) ( )L c u c u c L u c L u? ? ??L常見(jiàn)的線性算子，例如： 等。 22,ddd x x x?????L u f?若 ui 滿足 ? , 1 , 2 ,iiL u f i n??則 ui 的 線性組合 滿足 1niiiu C u?? ?1? niiiLu C f?? ?本篇主要考慮二階線性偏微分方程 . ◆ 什么是 線性 ？ 對(duì) 線性方程 有 疊加原理 ： ◆ 非線性方程 0t x x x xu u u u?? ? ?量與量之間成直線關(guān)系 . 2 ( , )t t x xu a u f x t??徐 師大 蔡俊 齊次線性方程 的通解為： 其中 ui (i = 1,2, … ,n) 為方程所有線性無(wú)關(guān)的解。 ? 0Lu ?1niiiu c u?? ?相應(yīng)的 非齊次 線性方程 的通解為： 其中， v 為滿足非齊次方程的一個(gè) 特解 。 ?L u f?1niiiu c u v????知識(shí)回顧： 線性方程解的結(jié)構(gòu) 注：倒三角 ▽ 是哈密爾頓引入的一個(gè)算符，叫 Nabla。Nabla本意是一種豎琴。 “ del” 這種讀法是較流行的，最直接的讀法。 1. 矢量的 散度 : , 其結(jié)果為 標(biāo)量 F?V S SF d V F d S F n d S? ? ???? ? ?知識(shí)回顧： Hamilton 算子 ▽ (讀作 Nabla)相關(guān)的運(yùn)算： 定義： 0lim SVF d SFV??????意義 ：散度表示 矢量場(chǎng)的發(fā)散 程度 . 例如，靜電場(chǎng)高斯定理 01SVE d S d V?????0E ????用散度表示，即為 由散度的定義，得 散度定理 (Gauss定理 ) ： 為 S包圍的體積 . V?2. 矢量的 旋度 : , 其結(jié)果仍為 矢量 F??( ) ( )S S LF d S F n d S F d l? ? ? ? ? ??? ?? ?定義： 0lim LSF d lFS??? ? ???意義 ：旋度表示 矢量場(chǎng)環(huán)流 的強(qiáng)弱 . 為回路 L 包圍面積 . S?由旋度的定義，得 旋度定理 (Stocks定理 ) ： 例如，穩(wěn)恒磁場(chǎng)安培環(huán)路定理 00LSB d l I j d S????? ??0Bj?? ? ?用散度表示，即為 徐 師大 蔡俊 3. 標(biāo)量的 梯度 : , 其結(jié)果為 矢量 . f?意義： 梯度方向?yàn)? f 變化最快 的方向 f f nn? ???方向?qū)?shù) 為 f 在 方向的變化率 . n4. 直角坐標(biāo)系中，散度、旋度和梯度的計(jì)算 . 梯度為標(biāo)量 f 各方向?qū)?shù)的最大值 ( ) ( )x y zy zxF i j k F i F j F kx y zF FFx y z? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ??? ? ?? ? ?散度： 徐 師大 蔡俊 ( ) ( )f f f? ? ? ? ? ? ?() FF? ? ? ? ?()F??旋度： ( ) ( )x y zx y zF i j k F i F j F kx y zi j kx y zF F F? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ??? ? ?梯度： ()f i j k f i f j f kx y z x y z? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?例： 徐 師大 蔡俊 第六章 幾個(gè)典型方程的定解問(wèn)題 167。 幾個(gè)典型方程的導(dǎo)出 一 .弦振動(dòng)方程 —— 張緊 輕弦 的微小 橫 振動(dòng) 1. 建立模型： 什么是 弦 ？什么是 橫 振動(dòng)？ 橫波 /縱波 : 弦長(zhǎng)方向?yàn)?縱 . 2. 采取近似： 弦的 微小 振動(dòng) c o s 1 , s i n t a n ux? ? ? ?? ? ? ?222( ) ( )1 ( )s x uuxxx? ? ? ? ??? ? ? ? ??即 , 振動(dòng)中弦的伸長(zhǎng)不變 . 弦 : 細(xì)、輕、均勻 . 徐 師大 蔡俊 將 代入， 由 ，得 F2 =F1 由胡克定理 , 弦上張力 不隨時(shí)間 改變， 即 : ( , ) ( )F x t F x?在水平方向 (縱向 ) ： 2 2 1 1c o s c o sFF???12c o s 1 , c o s 1????3. 振動(dòng)方程： 考察豎直方向 (橫向 )，弦的受力 . 221 2( , )s in s in ( , ) u x tF F x t x xt? ? ? ??? ? ? ? ??s in t a n ux?? ??? ?弦上張力也 不隨位置
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