【正文】 MATLAB與科學(xué)計算 一、前言 ? MATLAB： matrix laboratory的縮寫，矩陣實驗室的意思。一開始它是一種專門用于矩陣數(shù)值計算的軟件。自，該軟件成為最具有吸引力，應(yīng)用最為廣泛的科學(xué)計算語言。我們這個課就拿。（ 同小異） ?學(xué)習(xí)該軟件的必要性： 目前，MATLAB軟件不僅走入企業(yè)、公司和科研機(jī)構(gòu)，而且在高等院校也是從大學(xué)生到博士生都必須掌握的一項基本技能，是必不可少的計算工具。 ? MATLAB功能： 數(shù)值計算、符號運(yùn)算和圖形處理。 ?學(xué)習(xí)它的意義： 隨著計算機(jī)科學(xué)和計算軟件的發(fā)展，數(shù)學(xué)系學(xué)生必須掌握一門好的計算軟件。這是我們就業(yè)、繼續(xù)身造或做科研工作所要用到的。是當(dāng)代大學(xué)生必備的一項技能。 ?其它計算軟件： MATHEMATIC（數(shù)學(xué)分析問題的計算）； IDL（航天、控制）， FOETRAN、BASIC（科學(xué)計算）?？梢哉f一個人掌握了一門計算軟件，再學(xué)習(xí)其它計算軟件很容易。 ? MATLAB桌面平臺： (1)主窗口：整個大的窗口（其它幾個窗口都包括在其中） （ 2）命令窗口（ mand window）： 》 為運(yùn)算提示符，表示 MATLAB在準(zhǔn)備狀態(tài)。當(dāng)在提示符后輸入一段運(yùn)算式并按回車鍵后，就給出計算結(jié)果 （ 3）歷史窗口 (mand history)：保留命令歷史記錄，這方便于使用者查詢。雙擊歷史窗口中的某一行命令，即可在命令窗口中執(zhí)行該命令。 （ 4）當(dāng)前目錄窗口（ current directory）：在當(dāng)前目錄窗口中可顯示或改變當(dāng)前目錄，也可以顯示當(dāng)前目錄下的文件，并提供搜索功能。 (5)發(fā)行說明書窗口（ launch pad） :用來說明用戶所擁有的 Mathworks公司產(chǎn)品的工具包、演示以及幫助信息。 （ 6）工作間管理窗口（ workspace） :顯示目前內(nèi)存中所有的 MATLAB變量的變量名、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、字節(jié)數(shù)及其類型。 ?命令窗口查詢幫助： help+函數(shù)名，當(dāng)用戶知道函數(shù)名字，而不知道其用法時，用 help命令可以去了解此函數(shù)的用法。 如： help inv ?MATLAB標(biāo)點的含義： （ 1）分號； …… 區(qū)分行以及取消運(yùn)行顯示等。例： A=[1,2,3,4]與 A=[1,2。3,4]；的區(qū)別。 (2) 逗號， …… 區(qū)分列及函數(shù)參數(shù)分隔符等。例： =[1,2。3,4] ，B=[1,4,3。3,2,1。4,5,6] (3)小括號（）：指定運(yùn)算過程的先后次序等。例： x=。 y=sin(x)/(2+cos(x)) z= sin(x)/2+cos(x) (4)方括號 [ ]：矩陣定義標(biāo)志等。見上。 （ 5）續(xù)行號 … ：例： y=sin(x)/(2+cos(x)) 也可寫為 y=sin(x)… /(2+cos(x)) (6)百分號 %：注釋標(biāo)記，該行 %以后的語句不執(zhí)行。例 %線性規(guī)劃程序 %a=。 b=sin(x)。%正弦函數(shù) （ 6）等號 =：賦值標(biāo)記。見上。 （ 7）單引號 ’ ’ ：字符串表示符，單引號里面的內(nèi)容為字符串。單引號一定在英文狀態(tài)下輸入例： a=39。xingtai college39。 （ 8）冒號 ’ ： ’ ：有多種應(yīng)用功能，學(xué)習(xí)過程中注意。如：選取矩陣的所有行、列；矩陣定義 二、數(shù)值計算 變量： MATLAB語言不需要對所使用的變量進(jìn)行事先聲明，也不需要指定其類型，它會自動根據(jù)所賦予變量的值或所進(jìn)行的操作來確定變量的類型。如果變量重新賦值將會用新值代替舊值。如： a=1 b= c=a*b c=3 ?變量命名的規(guī)則： （ 1）變量名區(qū)分大小寫； （ 2）變量名長度不能超過 31位； （ 3）必須以字母開頭，變量名中可包含字母、數(shù)字、下劃線，但不能使用標(biāo)點。 ?常量： MATLAB中有些預(yù)定義的變量，這些特殊的變量稱為常量。常用到的有： i,j: 虛數(shù)單位； pi: π； NaN: 表示不定值 ,比如 0/0； inf: 無窮大（ infinit），比如1/0。 ?算術(shù)操作符： +、 ：加，減；可以通用。 *， ^,\ , / ：分別為矩陣乘，乘方，左除，右除； .*, .^ , .\ , ./ ：分別為數(shù)組乘，乘方，左除，右除；此時向量的運(yùn)算不會滿足矩陣的運(yùn)算法則。注意矩陣的加點運(yùn)算結(jié)果。 如： a1=2。 a2=[1,2,3,4]。 b2=[4,3,2,1]。 a1+a2 a1a2 a2a1 a1*a2 a1./a2 %a1/a2是錯誤的寫法 a1.\a2 a2b2 a2+b2 a2.*b2 %a2*b2是錯誤的寫法 a2./b2 b2./a2 a2.\b2 例 已知水的黏度隨溫度的變化公式為 μ=μ0/（ 1+at+bt2）其中μ 0= 103， a=,b=, 求水在 0， 20， 40， 80℃ 時的黏度。 程序如下： miu0=。 a=。 b=。 t=0:20:80 miu=miu0./(1+a*t+b*t.^2) 運(yùn)行后的結(jié)果為 ： miu = ?字符串： 字符串的約定（ 1）字符串用單引號括起來；（ 2）字符串的每個每個字符（包括空格）都是字符數(shù)組的一個元素 . 例 s=‘xingtai college’ f=‘sin(x)’ 是字符串（ char array） ?向量的生成： （ 1）直接輸入：如 a=[1,2,5,3] (2) 利用冒號表達(dá)式生成：如：b=[2:2:10],此時 [ ]可省略，步長為 1時，步長可省略。第一個數(shù)為首元素的值，第 2個數(shù)為步長或差值，第三個數(shù)為尾元素的限值，不能超過這個值。如 b=2。2:11等價于 b=[2:2:10] （ 3）線性等份向量生成：y=linspace(x1,x2,n),生成 n維向量，使得 y(1)=x1,y(n)=x2。如：y=linspace(1,100,6)。 ?向量的基本運(yùn)算 （ 1）向量的加減：用 +、 。同維向量才可以加、減。相應(yīng)元素加減 （ 2）向量與數(shù)可以加、減。用 +、。數(shù)與向量的每個元素進(jìn)行作用。 （ 3）向量與數(shù)可以相乘。用 *。 (4)向量與數(shù)可以相除。向量 /數(shù)，數(shù) ./向量。 （ 5）兩個向量點積。必須是同維向量。用 dot(a,b)。 （ 6）兩個向量叉積。cross(a,b),a,b必須有是 3維且次序不能顛倒 ,。 （ 7）混合積。由以上兩個函數(shù)實現(xiàn)。dot(a,cross(b,c)) ?矩陣的生成： (1)直接輸入 :如 :a=[1,3,4。4,3,2]. (2)創(chuàng)建 M文件輸入大矩陣 :當(dāng)矩陣很大時 ,直接輸入顯得很笨 ,出錯不易修改 .我們可以編寫一個 M文件 ,M文件的擴(kuò)展名必須是 m. 例 編寫一個名為 (名字自己隨便起 )的 M文件如下 : % mat=[1,2,3,3。3,4,5,1。3,2,1,4。8,9,7,5] 在命令窗口中輸入 matrix,就會運(yùn)行該文件 .查看矩陣的結(jié)構(gòu)可用 size(mat). ?矩陣運(yùn)算 : (1) +、 、 *：加、減、乘運(yùn)算。 （ 2）矩陣的除法有兩種形式 :左除“ \” 和右除‘ /’. 右除是先計算逆再做乘法 。而左除不計算逆直接進(jìn)行除法運(yùn)算 ,這樣可避免奇異矩陣無法求逆帶來的麻煩 . 如 :A=[1,2,3,2。3,2, 4,1。3,1,5,6。2,5,3,2], b=[1。3。2。1],求方程組 Ax=b的解 .由于 rank(A)=rank(B)=4(B為增廣矩陣 ),所以有唯一解 ,x=A\b,或 x=inv(A)*b. ?又如 : A=[361,625,961,1444,1936。1,1,1,1,1], b=[1。1]‘, 求方程組 Ax=b的解 .由于 rank(A)=rank(B)=2(B為增廣矩陣 ),所以有無窮多個解 ,MATLAB中用除法解方程組時所得到的解是所有解中范數(shù)最小的一個 x=A\b。 （ 3）矩陣與常數(shù)間的運(yùn)算 :+、 、*運(yùn)算是數(shù)與矩陣的每個元素進(jìn)行運(yùn)算，除法運(yùn)算，只能常數(shù)做除數(shù)。 （ 4）矩陣求逆： inv(A)為 A的逆(inverse). （ 5）求轉(zhuǎn)置矩陣 :A39。. （ 6）求矩陣的行列式 :det(A) ,(determinant是行列式 )。 （ 7）矩陣冪運(yùn)算：用 ^.如 A^3,表示A*A*A。 （ 8）矩陣指數(shù)運(yùn)算： expm(A),A為方陣。 （ 9）矩陣對數(shù)運(yùn)算 :logm(A),A為方陣。 如： a=rand(3)； %成生一個 3階隨機(jī)矩陣 b=expm(a) c=logm(b) （ 10）矩陣開方： sqrtm(a). (11)求矩陣呢的秩： rank(a). ?特殊矩陣的生成： （ 1） zeros(n):生成 n n階 0矩陣。 （ 2） zeros(m,n):生成 m n階 0矩陣。 （ 3） zeros(size(a)):生成與 a階數(shù)相同的 0矩陣。 （ 4） eye(n):生成 n階單位矩陣。 （ 5） eye(m,n):生成 m n階單位矩陣。 （ 6） eye(size(a)):生成與 a階數(shù)相同的單位矩陣。 （ 7） ones(n):生成 n階全 1矩陣。 （ 8） ones(m,n):生成 m n階全 1矩陣。 （ 9） ones(size(a)):生成與 a階數(shù)相同的全 1矩陣。 （ 10） rand(n):生成 n n階隨機(jī)矩陣，其元素值在 0和 1之間。 （ 11） rand(m,n):生成 m n階隨機(jī)矩陣。 （ 12） rand：生成一個隨機(jī)數(shù)。 （ 13） rand(size(a)):生成與 a階數(shù)相同的隨機(jī)矩陣。 ?矩陣的特殊操作： （ 1）變維操作 reshape(a,m,n):把矩陣 a變成 n n階矩陣。如 a=1:12,reshape(a,2,6), reshape(a,3,4)。注意變維操作要保證元素個數(shù)一致。 例 s=1:12。 c=zeros(3,4)。 c(:)=s(:)。 %符號“ :” 表示變維操作，這兩個矩陣必須預(yù)先定義維數(shù)，結(jié)果 c取的是 s的元素。 （ 2）對角元素抽取 diag(a,k)（注：diagonal為對角線的意思）：抽取矩陣 a的第 k條對角線的元素作為向量， k=0 時為主對角線， k為正值時為上方第 k條對角線， k為負(fù)值時為下方第 k條對角線。 diag(a)相當(dāng)于 diag(a,0).例 a=rand(3)。 v=diag(a) 說明：如果 b是一個向量，則 diag(b)為對角矩陣，其對角線元素為 b的元素。如： b=1:3,diag(b). （ 3） tril(a) (注： triangle low):提取矩 a的主下三角。 （ 4） tril(a， k):提取矩 a的第 k條對角線下面部分。 k=0 時為主對角線， k為正值時為上方第 k條對角線， k為負(fù)值時為下方第 k條對角線。 （ 5） triu(a， k) (注： triangle up) :提取矩 a的第 k條對角線上面部分。 ?邏輯運(yùn)算符： （ 1） = =：等于。 （ 2） ~=：不等于。 （ 3） 〈 ：小于。 （ 4） 〉 ：大于。 （ 5） 〈 =：小于等于。 （ 6） 〉 =：大于等于。 （ 7） amp。:邏輯與。 （ 8） |：邏輯或。 （ 9） ~：邏輯非。 說明： ①在關(guān)系比較中，若雙方為同維數(shù)組（矩陣），則比較的結(jié)果也是同維數(shù)組（矩陣）。它們的元素有 0和 1組成。對應(yīng)位置上的元素滿足比較關(guān)系時為 1，否則為0。當(dāng)常數(shù)與數(shù)組（矩陣）比較時，結(jié)果與數(shù)組（矩陣）同維，其值依次為常數(shù)與數(shù)組元素依次比較的結(jié)果。例： a=[1:3。4:6。7:9] x=5 y=x=a 運(yùn)行結(jié)果 y = 0 0 0 0 1 1 1 1