[工學(xué)]第6章二次型(已修改)
2024-10-28 18:49 本頁面
【正文】 1 第 6章 二次型 2 第一節(jié)二次型 一、標(biāo)準(zhǔn)形的概念 ? ?nnnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxaxxxf1,13113211222222211121222 ,?????????????稱為二次型 . 的二次齊次函數(shù)個變量含有定義 nxxxn , 1 21 ?. , 稱為是實數(shù)時當(dāng) fa ij 實二次型3 只含有平方項的二次型 2222211 nn ykykykf ???? ?稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形（或法式）． 例如 ? ? 31232221321 4542, xxxxxxxxf ????都為 二次型； ? ? 232221321 44, xxxxxxf ???為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形 . ? ? 323121321 , xxxxxxxxxf ???4 1．用和號表示 ? ?nnnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxaxxxf1,13113211222222211121222 ,?????????????對二次型 ,aa ijji ?取 ,2 xxaxxaxxa ijjijiijjiij ??則 于是nn xxaxxaxaf 1121122111 ???? ?.1,xxa jinji ij???nn xxaxaxxa 2222221221 ???? ??? 22211 nnnnnnn xaxxaxxa ???? ?二、二次型的表示方法 5 2．用矩陣表示 nn xxaxxaxaf 1121122111 ???? ?nn xxaxaxxa 2222221221 ???? ??? 22211 nnnnnnn xaxxaxxa ???? ?)()()(22112222121212121111nnnnnnnnnnxaxaxaxxaxaxaxxaxaxax?????????????????????????????????????????nnnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaxxx?????22112222121121211121 ),(6 ., 為對稱矩陣其中則二次型可記作 AAxxf T?,21212222111211??????????????????????????????nnnnnnnxxxxaaaaaaaaaA????????記? ??????????????????????????????nnnnnnnnxxxaaaaaaaaaxxx?????????2121222211121121,7 三、二次型的矩陣及秩 在二次型的矩陣表示中，任給一個二次型， 就唯一地確定一個對稱矩陣；反之，任給一個對 稱矩陣，也可唯一地確定一個二次型．這樣，二 次型與對稱矩陣之間存在 一一對應(yīng) 的關(guān)系． 。 的矩陣叫做二次型對稱矩陣 fA。 的二次型叫做對稱矩陣 Af. 的秩的秩叫做二次型對稱矩陣 fA8 解 ,a,a,a 321 332211 ????,aa 22112 ?? ,aa 03113 ??.aa 33223 ???.330322021??????????????? A.6432 3221232221的矩陣寫出二次型xxxxxxxf ?????例１ 9 ???????????????????nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx????????????????22112222121212121111,設(shè) 四、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 對于二次型，我們討論的主要問題是：尋求 可逆的線性變換，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形． ),( cC ij?記 記作則上述可逆線性變換可 Cyx ?10 Axxf T?證明 于是即有為對稱矩陣 , TAAA ?? ?TTT ACCB ?有將其代入 , Axxf T?? ? .yACCy TT?? ? ? ?CyACy T?? ? ? ? ., 1ARBRBAACCBC T??且也為對稱矩陣則矩陣為對稱如果令任給可逆矩陣定理CAC TT? ,BACC T ??,ACCB T?? ? ? ? ? ? ? ,ARACRBR ???? ? , 11 ??? BCCA T?又 ? ? ? ? ? ? .1 BRBCRAR ??? ?? ? ? ?.BRAR ??即 為對稱矩陣 . B11 說明 2222211 nnTT ykykykACyCy ???? ?就是要使變成標(biāo)準(zhǔn)形經(jīng)可逆變換要使二次型 , 2 Cyxf. ?,),(212121?????????????????????????????yyykkkyyynnn ???.成為對角矩陣也就是要使 ACC T。 ,1 ACCBAfCyx. T??變?yōu)榈木仃囉傻渲炔蛔兒蠖涡徒?jīng)可逆變換12 有型把此結(jié)論應(yīng)用于二次即使總有正交矩陣陣由于對任意的實對稱矩,.,1 ????? APPAPPPAT ? ?化為標(biāo)準(zhǔn)形使正交變換總有任給二次型定理fPyxaaxxaf jiijnjijiij, 21,?????,2222211 nn yyyf ??? ???? ?? ? ., 21 的特征值的矩陣是其中 ijn aAf ???? ?13 用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟 。,.1 AAxxf T 求出將二次型表成矩陣形式 ? 。,.2 21 nA ??? ?的所有特征值求出 。,.3 21 n??? ?征向量求出對應(yīng)于特征值的特 ? ?。,
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