[工學(xué)]信號(hào)與系統(tǒng)教案第6章(已修改)
2024-10-30 23:46 本頁(yè)面
【正文】 信號(hào)與系統(tǒng) 第 61頁(yè) ■ 電子教案 第六章 離散系統(tǒng) z域分析 z 變換 一、從拉普拉斯變換到 z變換 二、收斂域 z 變換的性質(zhì) 逆 z變換 z 域分析 一、差分方程的變換解 二、系統(tǒng)的 z域框圖 三、利用 z變換求卷積和 四、 s域與 z域的關(guān)系 五、離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng) 點(diǎn)擊目錄 ，進(jìn)入相關(guān)章節(jié) 信號(hào)與系統(tǒng) 第 62頁(yè) ■ 電子教案 第六章 離散系統(tǒng) z域分析 在連續(xù)系統(tǒng)中，為了避開解微分方程的困難，可以通過拉氏變換把微分方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程。出于同樣的動(dòng)機(jī)，也可以通過一種稱為 z變換的數(shù)學(xué)工具，把差分方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程。 z變換 一、從拉氏變換到 z變換 對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行均勻沖激取樣后，就得到離散信號(hào) : ????????kTS kTtkTfttftf )()()()()( ??取樣信號(hào) 兩邊取雙邊拉普拉斯變換，得 信號(hào)與系統(tǒng) 第 63頁(yè) ■ 電子教案 ???????kk T sSb kTfsF e)()(令 z = esT，上式將成為復(fù)變量 z的函數(shù)，用 F(z)表示；f(kT) →f(k) ，得 ???????kkzkfzF )()(稱為序列 f(k)的雙邊 z變換 ?????0)()(kkzkfzF稱為序列 f(k)的單 邊 z變換 若 f(k)為 因果序列 ，則單邊、雙邊 z 變換相等，否則不等。今后在不致混淆的情況下，統(tǒng)稱它們?yōu)?z變換 。 F(z) = Z[f(k)] ,f(k)= Z1[F(z)] ； f(k)←→F(z) 信號(hào)與系統(tǒng) 第 64頁(yè) ■ 電子教案 z變換 二、收斂域 z變換定義為一無窮冪級(jí)數(shù)之和，顯然只有當(dāng)該冪級(jí)數(shù)收斂，即 ????????kkzkf )(時(shí)，其 z變換才存在。上式稱為 絕對(duì)可和條件 ，它是序列 f(k)的 z變換存在的 充分必要條件 。 收斂域的定義 ： 對(duì)于序列 f(k)，滿足 ????????kkzkf )(所有 z值組成的集合稱為 z變換 F(z)的收斂域 。 信號(hào)與系統(tǒng) 第 65頁(yè) ■ 電子教案 z變換 例 1求以下有限序列的 z變換 (1) f1(k)=?(k) ↓k=0 (2) f2(k)={1 , 2 , 3 , 2,1} 解(1) 1)()()(1 ??? ? ???????????k kkk zkzkzF ?? 可見，其單邊、雙邊 z變換相等。與 z 無關(guān)，所以其收斂域?yàn)?整個(gè) z 平面 。 (2) f2(k)的雙邊 z 變換為 F2(z) = z2 + 2z + 3 + 2z1 + z2 收斂域 為 0?z? ∞ f2 (k)的單邊 z 變換為 21022 23)()(????? ???? ? zzzkfzFkk收斂域 為 ?z? 0 對(duì)有限序列的 z變換的收斂域一般為 0?z?∞ ，有時(shí)它在 0或 /和 ∞ 也收斂。 信號(hào)與系統(tǒng) 第 66頁(yè) ■ 電子教案 z變換 例 2 求 因果序列 ???????0,0,0)()(kakkakfkky ?的 z變換（式中 a為常數(shù)）。 解： 代入定義 111010 1)(1l i m)(l i m)(????????????????? ??azazazzazF NNNkkNkkky可見，僅當(dāng) ?az1?1，即 ?z? ?a? =時(shí)，其 z變換存在。 azzzFy ??)(R e [ z ]j I m [ z ]|a |o收斂域 為 |z||a| 信號(hào)與系統(tǒng) 第 67頁(yè) ■ 電子教案 z變換 例 3 求 反因果序列 的 z變換。 解 )1(0,00,)( ????????? kbkkbkf kkf ?zbzbzbzbbzzF NNmmkkf 1111111 11)(l i m)()()(??????????????????? ??可見， ?b1z?1,即 ?z??b?時(shí)，其 z變換存在， bzzzFf ???)(收斂域 為 |z| |b| |b |R e[ z ]j I m [ z ]o信號(hào)與系統(tǒng) 第 68頁(yè) ■ 電子教案 z變換 例 4 雙邊序列 f(k)=fy(k)+ff(k)= 解 ?????0,0,kakbkk的 z變換。 azzbzzzFzFzFfy ??????? )()()(可見，其收斂域?yàn)??a??z??b? （顯然要求 ?a??b?，否則無共同收斂域 ) o|a||b|R e [ z ]j I m [ z ]序列的收斂域大致有一下幾種情況： （ 1）對(duì)于有限長(zhǎng)的序列，其雙邊 z變換在整個(gè)平面； （ 2）對(duì)因果序列，其 z變換的收斂域?yàn)槟硞€(gè)圓外區(qū)域； （ 3）對(duì)反因果序列，其 z變換的收斂域?yàn)槟硞€(gè)圓內(nèi)區(qū)域； （ 4）對(duì)雙邊序列，其 z變換的收斂域?yàn)榄h(huán)狀區(qū)域； 信號(hào)與系統(tǒng) 第 69頁(yè) ■ 電子教案 z變換 注意： 對(duì)雙邊 z變換必須表明收斂域，否則其對(duì)應(yīng)的原序列將不唯一。 例 f1(k)=2k?(k)←→F1(z)= 2?z z , ?z?2 f2(k)= –2k?(– k –1)←→F2(z)= 2?zz , ?z?2 對(duì)單邊 z變換，其收斂域比較簡(jiǎn)單，一定是某個(gè)圓
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