[理學(xué)]第16講二次規(guī)劃(已修改)
2025-10-26 00:51 本頁面
【正文】 第六章 二次規(guī)劃 quadratic program 一． 二次規(guī)劃簡介 二． 等式約束二次規(guī)劃 方法 1 直接變量消去法 方法 2 Lagrange乘子法 一．二次規(guī)劃簡介 . 二次 規(guī)劃是最簡單的約束非線性規(guī)劃問題 . 二次規(guī)劃 : 帶有二次目標(biāo)函數(shù)和線性約束的最優(yōu)化問題 . 1. 標(biāo)準(zhǔn)形式 1m in ( ) ,2. . , ,.TTTiiTiiq x x G x g xs t a x b i Ea x b i I?????? ( 1 ) 其中 G 是 nn? 的對稱矩陣 .,EI分別對應(yīng)等式約束和不等式約束指標(biāo)集合 .? ?, , ,ig x an d a i E I?都是 n 維向量 . 2 ．求解說明： 如果 H e s s i a n 矩陣正半定 , 則 QP 問題存在全局最優(yōu)解 。 如果 H e s s i a n 矩陣正定 , 則 QP 問題存在唯一的全局最優(yōu)解 . 原因 ： ？ 原因 ： 此時目標(biāo)函數(shù)為凸函數(shù) ，任何 K T 點都是二次規(guī)劃問題的極小點 . 如果 H e s s i a n 矩陣不定時 , 可能存在非全局的最優(yōu)解 . 3 ． 二次規(guī)劃研究的意義 ( 1 ) 二次規(guī)劃問題簡單，便于求解 . 某些較復(fù)雜的非線性規(guī)劃問題可以轉(zhuǎn)化為求解一系列二次規(guī)問題 . ( 2 ) 實際應(yīng)用廣泛： 工 作計劃， 時 間調(diào)度，規(guī)模經(jīng)濟(jì)學(xué)，工程設(shè)計以及控制領(lǐng)域， 設(shè) 施分配問題，選址問題，二次分配問題，微觀經(jīng)濟(jì)學(xué) 的 很多 問題 . 化學(xué) 工程建模 . 4 ．應(yīng)用實例 組合投資的 馬庫 維 茨 模型 1952 年 Ma rkowitz 發(fā)表了《 資產(chǎn)選擇 : 投資的有效分散化 》一文，奠定了資產(chǎn)組合的理論基礎(chǔ)，從而推動了基金業(yè)的發(fā)展 . Markow itz 最早采用 風(fēng)險 資產(chǎn)的 期 望收益率和用方差代表的風(fēng)險來研究資產(chǎn)的選擇和組合問題 . Markow itz 的證券 組 合投資模型是現(xiàn)代證券投資理論的基石 . 它解決了 持有一定數(shù)量資本的投資者，怎樣在選定的多種風(fēng)險證券投資上分配投資量，從而達(dá)到分散風(fēng)險，取得盡可能大的收益這樣的投資問題 . 1990 年獲得諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎！ 模型的建立 設(shè)投資的期限是一年 ， 可供選擇的金融資產(chǎn)數(shù)為 n。 設(shè)此 n中 金融資產(chǎn)的年收益為 隨機(jī)變量 。 由于我們 主要關(guān)心投資的分配比例 ， 不妨設(shè)投資總數(shù)為 1個單位 ， 用 于第 j中投資的資金比例為 ， 令 稱為投資組合向量 ， 顯然應(yīng)有： 12( , , , ) 39。n? ? ? ??( 1 , 2 , , )jw j n?12( , , , ) 39。nw w w w?11n jjw???投資一年的收益 也是一個隨機(jī)變量 ， 期望收益為 馬庫維茨建議用隨機(jī)變量 （ 組合投資收益 ） 的方差作為投資風(fēng)險的度量 ， 即 設(shè)隨機(jī)向量的數(shù)學(xué)期望為 ， 自協(xié)方差矩陣為 39。w?1 1 2 2( 39。 ) ( ) ( ) , , ( )nnE w E w E w E w? ? ? ?? ? ? ?39。w ?22( 39。 ) ( ( 39。 ( 39。 ) ) )D w E w E w? ? ? ?? ? ?E?
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