[工學]機械優(yōu)化設(shè)計第二章(已修改)
2024-10-28 18:34 本頁面
【正文】 機械優(yōu)化設(shè)計 機電工程學院 機械制造及其自動化教研室 高自成 第二章優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學基礎(chǔ) ? 第一節(jié) 多元函數(shù)的方向?qū)?shù)與梯度 ? 一、方向?qū)?shù) 即函數(shù) f（ x1,x2）在點x0(x10,x20)點處沿某一方向 d的變化率，定義為： ? ? ? ?010 1 20 2 10 20x d0f x x , x x f x , xf l imdd??? ? ? ? ?? ???第一節(jié) 多元函數(shù)的方向?qū)?shù)與梯度 ? 方向?qū)?shù)與偏導數(shù)的關(guān)系： 0 0 01212c o s c o sx x xf f fd x x??? ? ???? ? ?第一節(jié) 多元函數(shù)的方向?qū)?shù)與梯度 ? 二、二元函數(shù)的梯度 ? 二元函數(shù) f(x1,x2)在點 x0處的方向?qū)?shù) ? ?? ?010 0 0 2012 00c os1 2 c os1 2 1 2121 2 0c os c osf x , x xxx x xxfxxfx xxfdf f f f fd x x x xfffxxx?????????????? ? ? ? ???? ? ??? ??? ? ? ? ????? ????? ? ?????????????的表達式可以改寫為下面的形式并稱它為函數(shù) 在點 的梯度二、二元函數(shù)的梯度 ? 設(shè) d為方向單位向量 ? 則有 12c o sc o sd????? ??? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?0000000c os ,c os , dTxTxff x ddff x d f x f ddf x f xfd?????? ? ? ? ?????把向量內(nèi)積寫出向量投影形式代表向量 的模，表示梯度向量與 方向夾角的余弦。二、二元函數(shù)的梯度 ? 梯度方向為等值線的法線方向，也是函數(shù)值變化最快的方向，梯度的模就是函數(shù)變化率的最大值。 梯度方向與等值線的關(guān)系 三、多元函數(shù)的梯度和方向?qū)?shù) ? 將二元函數(shù)推廣到多元函數(shù)，則對于多元函數(shù) f（ x1， x2， … x n）在點 x0（ x10，x20， …x 1n）處的梯度 ? 多元函數(shù)的方向?qū)?shù)： ? ?12012,Tnnfxff f fxfxx x xfx?????????????? ? ????? ? ?????? ? ???????????????? ? ? ? ? ?00 001c o s | | | | c o s ,n Tx x ii iff f x d f x f ddx ???? ? ? ? ? ? ??? ?三、多元函數(shù)的梯度和方向?qū)?shù) 12c o sc o sc o snd??????????????????為 d方向的單位向量 ? ?? ?? ?01201000|| |||| ||ni ixffxxfxpfx???? ??????? ????? ???????? 為 梯 度 的 模為 梯 度 方 向 單 位 向 量 ，它 與 函 數(shù) 等 值 面 相 垂 直 ， 也 就 是 和 等 值 面 上 過 的 一 切 曲 線 相 垂 直第二節(jié) 多元函數(shù)的泰勒展開 ? 一元函數(shù)的泰勒展開為 ? 二元函數(shù) f（ x 1， x2）在點 x0（ x10 ， x20）處的泰勒展開式為 ? ? ? ? ? ? ? ?39。 39。39。 20 0 012f x f x f x x
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