[工學(xué)]機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)第二章-預(yù)覽頁(yè)
【正文】 02221 1 202222 1 12212221 1 202222 1 100xxxffx x xGxffx x xfxffx x xGxffx x x??????? ? ??????????? ? ??????????? ? ?????? ? ?要求 二元函數(shù)極值的充分條件： ? 對(duì)于多元函數(shù) f（ x1， x2， …x n），若在 x*取得極值，則極值的必要條件為 ? ?**120Tn xf f ffxx x x??? ? ?? ? ???? ? ???極值的充分條件為 ? ?2 2 221 1 2 12 2 2* 22 1 2 22 2 2212nnn n nf f fx x x x xf f fGx x x x x xf f fx x x x x??? ? ?? ? ? ? ?? ? ???? ? ? ? ? ?????? ? ?? ? ? ? ?????正定 第四節(jié) 凸集、凸函數(shù)與凸規(guī)劃 ? 優(yōu)化問(wèn)題一般是要求目標(biāo)函數(shù)在某一區(qū)域內(nèi)的最小點(diǎn)，也就是要求全局的極小點(diǎn)， ? 一元函數(shù)的凸性 第四節(jié) 凸集、凸函數(shù)與凸規(guī)劃 一、凸集 一個(gè)點(diǎn)集（或區(qū)域），如果連接其中任意兩點(diǎn) x1和 x2的線段都全部包含在該集合內(nèi)，就稱(chēng)該點(diǎn)集為凸集。 N維空間中的 r維子空間也是凸集。 凸集的性質(zhì) 第四節(jié) 凸集、凸函數(shù)與凸規(guī)劃 ? 二、凸函數(shù) ? 函數(shù) f（ x），如果在連結(jié)其凸集定義域內(nèi)任意兩點(diǎn) x x2的線段上，函數(shù)值總小于或等于用 f（ x1）及 f（ x2）作線性?xún)?nèi)插所得的值，那么稱(chēng) f（ x）為凸函數(shù)。 對(duì)于任意正數(shù) α和 β，函數(shù) α f1（ X） + β f2（ X）也是在 R上的凸函數(shù)。此性質(zhì)說(shuō)明，當(dāng) f（ x）為二元函數(shù)時(shí)，其等值線呈現(xiàn)大圈套小圈的形式。 ? 一、消元法 ? 二、拉格朗日乘子法 求解等式約束的另一種經(jīng)典方法，它是通過(guò)增加變量將等式約束優(yōu)化問(wèn)題變成無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題，所以又稱(chēng)升維法。辦法是把原來(lái)的目標(biāo)函數(shù) f(x)改造成如下形式的新的目標(biāo)函數(shù)。自 F（ x， λ ）具有極值的必要條件 * * * *12, , , nx x x x??? ?? 可以得到 n+l個(gè)方程，從而解得 x=[x1,x2, … ,xn]T和 λ k（ K=1， 2， … ， l）共 l+n未知個(gè)變量的值，由上述方程組求得的 是函數(shù) f（ x）的極值點(diǎn)的坐標(biāo)值 ? ?? ?0 1 , 2 , ,0 1 , 2 , ,iiFinxFn??????????第五節(jié) 等式約束優(yōu)化問(wèn)題的極值條件 拉格朗日乘子法可以用另一種方式表示如下： 設(shè) x*是目標(biāo)函數(shù) f（ x）是在等式約束 hk（ x） =0條件下的一個(gè)局部極值點(diǎn)，而且在該點(diǎn)處各約束函數(shù)的梯度 ▽ hk（ x*）（ k=1，2， … ， l）是線性無(wú)關(guān)的（符合此條件的點(diǎn)稱(chēng)為正則點(diǎn)），則存在一個(gè)向量 λ （在一個(gè)約束函數(shù)規(guī)定的值內(nèi)），使下式成立 ▽ F=▽ f（ x） + λ T ▽ hk（ x*） =0 式中 λ T=[λ 1， λ 2， … ， λ l] ▽ hk（ x*） T=[▽ h1（ x*）， ▽ h2（ x*）， … ， ▽ hl（ x*） ] 第五節(jié) 等式約束優(yōu)化問(wèn)題的極值條件 ? ? ? ? ? ?1122,00F x f x h xfhxxfhxx???????????????????拉格朗日乘子的物理意義 :優(yōu)化效率或敏度系數(shù)：由： )2,1( ??????? ixhxfii?所以
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