【正文】 167。 1 全同粒子的特性 167。 2 全同粒子體系波函數(shù) Pauli 原理 167。 3 兩電子自旋波函數(shù) 167。 4 氦原子（微擾法） 第七章 全同粒子 （一）全同粒子和全同性原理 （二）波函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性質(zhì) （三）波函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的不隨時(shí)間變化 （四） Fermi 子和 Bose 子 167。 1 全同粒子的特性 （ 1）全同粒子 質(zhì)量、 電荷、自旋等固有性質(zhì)完全相同的微觀粒子。 （ 2）經(jīng)典粒子的可區(qū)分性 經(jīng)典力學(xué)中，固有性質(zhì)完全相同的兩個(gè)粒子，是可以區(qū)分的。因?yàn)槎Ｗ釉谶\(yùn)動(dòng)中，有各自確定的軌道，在任意時(shí)刻都有確定的位置和速度。 軌道速度位置 ????可判斷哪個(gè)是第一個(gè)粒子哪個(gè)是第二個(gè)粒子 1 2 1 2 （一）全同粒子和全同性原理 （ 3）微觀粒子的不可區(qū)分性 微觀粒子運(yùn)動(dòng) 服從 量子力學(xué) 用 波函數(shù)描寫(xiě) 在波函數(shù)重疊區(qū) 粒子是不可區(qū)分的 （ 4）全同性原理 全同粒子所組成的體系中，二全同粒子互相代換不引起體系物理狀態(tài)的改變。 全同性原理是量子力學(xué)的基本原理之一。 （ 1） Hamilton 算符的對(duì)稱(chēng)性 N 個(gè)全同粒子組成的體系，其 Hamilton 量為： 個(gè)粒子的坐標(biāo)和自旋。為第其中 isrqqqVtqUtqqqqqHiiijiNjiiiNiNji},{),(),(2),(? 22121????????????? ???? ???? ?調(diào)換第 i 和第 j 粒子， 體系 Hamilton 量不變。 即： ),(?),(? 2121 tqqqqqHtqqqqqH NjiNij ?????? ?表明， N 個(gè)全同粒子組成的體系的 Hamilton 量具有交換對(duì)稱(chēng)性，交換任意兩個(gè)粒子坐標(biāo)（ q i , q j ) 后不變。 （二）波函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性質(zhì) （ 2）對(duì)稱(chēng)和反對(duì)稱(chēng)波函數(shù) 考慮全同粒子體系的含時(shí) Shrodinger 方程 ),(),(?),(212121tqqqqqtqqqqqHtqqqqqtiNjiNjiNji???????????????將方程中（ q i , q j ) 調(diào)換，得： ),(),(?),(212121tqqqqqtqqqqqHtqqqqqtiNijNijNij???????????????由于Hamilton 量對(duì)于（ q i , q j ) 調(diào)換不變 ),(),(? 2121 tqqqqqtqqqqqH NijNji ?????? ??表明 ：（ q i , q j ) 調(diào)換前后的波函數(shù)都是 Shrodinger 方程的解。 根據(jù)全同性原理： ???????),(),(2121tqqqqqtqqqqqNijNji??????描寫(xiě)同一狀態(tài)。 因此，二者相差一常數(shù)因子。 ),(),( 2121 tqqqqqtqqqqq NjiNij ?????? ??? ?再做一次（ q i , q j ) 調(diào)換 ),(),(),(2122121tqqqqqtqqqqqtqqqqqNjiNijNji????????????????112 ???? ??所以),(),(12121 tqqqqqtqqqqq NijNji ?????? ???? 變，即二粒子互換后波函數(shù)不?),(),(12121 tqqqqqtqqqqq NijNji ?????? ?????? 號(hào)，即二粒子互換后波函數(shù)變?對(duì)稱(chēng)波函數(shù) 反對(duì)稱(chēng)波函數(shù) 引入粒子坐標(biāo)交換算符 ),(),(?),(??),(?),(),(),(?22jijijijijiijjiijijijijij????????????????????的本征態(tài)。本征值反對(duì)稱(chēng)波函數(shù)是的本征態(tài)；本征值對(duì)稱(chēng)波函數(shù)是，所以1?1?1???????????ijij全同粒子體系波函數(shù)的這種對(duì)稱(chēng)性不隨時(shí)間變化，即初始時(shí)刻是對(duì)稱(chēng)的，以后時(shí)刻永遠(yuǎn)是對(duì)稱(chēng)的； 初始時(shí)刻是反對(duì)稱(chēng)的，以后時(shí)刻永遠(yuǎn)是反對(duì)稱(chēng)的。 證 方法 I 設(shè)全同粒子體系波函數(shù) ?s在 t 時(shí)刻是對(duì)稱(chēng)的，由體系哈密頓量是對(duì)稱(chēng)的，所以 H ?s 在 t 時(shí)刻也是對(duì)稱(chēng)的。 是對(duì)稱(chēng)的。中式右的方程是一樣的，所以因?yàn)榈仁絻蛇厡?duì)稱(chēng)性應(yīng)sss tHtiS h r o d i n g er???????? ??在 t+dt 時(shí)刻，波函數(shù)變化為 dtt ss ?????對(duì)稱(chēng) 對(duì)稱(chēng) 二對(duì)稱(chēng)波函數(shù)之和仍是對(duì)稱(chēng)的 依次類(lèi)推，在以后任何時(shí)刻，波函數(shù)都是對(duì)稱(chēng)的。 同理可證： t 時(shí)刻是反對(duì)稱(chēng)的波函數(shù) ?a，在 t以后任何時(shí)刻都是反對(duì)稱(chēng)的。 （三）波函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的不隨時(shí)間變化 方法 II ? ?變。交換對(duì)稱(chēng)性不隨時(shí)間改是守恒量，即ijij H ???? ?0?,??全同粒子體系哈密頓量是對(duì)稱(chēng)的 結(jié)論： 描寫(xiě)全同粒子體系狀態(tài)的波函數(shù)只能是對(duì)稱(chēng)的或反對(duì)稱(chēng)的，其對(duì)稱(chēng)性不隨時(shí)間改變。如果體系在某一時(shí)刻處于對(duì)稱(chēng)（或反對(duì)稱(chēng)）態(tài)上，則它將永遠(yuǎn)處于對(duì)稱(chēng)（或反對(duì)稱(chēng)）態(tài)上。 實(shí)驗(yàn)表明：對(duì)于每一種粒子，它們的多粒子波函數(shù)的交換對(duì)稱(chēng)性是完 全確定的，而且該對(duì)稱(chēng)性與粒子的自旋有確定的聯(lián)系。 （ 1） Bose 子 凡自旋為 ? 整數(shù)倍（ s = 0， 1， 2， …… ) 的粒子，其多粒子波函數(shù)對(duì)于交換 2 個(gè)粒子總是對(duì)稱(chēng)的，遵從 Bose統(tǒng)計(jì)，故稱(chēng)為 Bose 子 如： ? 光子 （ s =1）； ? 介子 （ s = 0）。 （四） Fermi 子和 Bose 子 （ 2） Fermi 子 凡自旋為 ? 半奇數(shù)倍（ s =1/2， 3/2， …… ) 的粒子，其多粒子波函數(shù)對(duì)于交換 2 個(gè)粒子總是反對(duì)稱(chēng)的，遵從 Fermi 統(tǒng)計(jì)，故稱(chēng)為 Fermi 子。 例如：電子、質(zhì)子、中子（ s =1/2）等粒子。 （ 3）由 “ 基本粒子 ” 組成的復(fù)雜粒子 如： ? 粒子（氦核）或其他原子核。 如果在所討論或過(guò)程中，內(nèi)部狀態(tài)保持不變，即內(nèi)部自 由度完全被凍結(jié)，則全同概念仍然適用，可以作為一類(lèi) 全同粒子來(lái)處理。 子粒子）是（（氘核）和例如： B o seHeH ?242121偶數(shù)個(gè) Fermi 子組成 Bose 子組成 子是（氚核）和例如： F e rm iHeH 132131奇數(shù)個(gè) Fermi子組成 奇數(shù)個(gè) Fermi子組成 （一） 2 個(gè)全同粒子波函數(shù) （二） N 個(gè)全同粒子體系波函數(shù) （三） Pauli 原理 167。 2 全同粒子體系波函數(shù) Pauli 原理 （ 1）對(duì)稱(chēng)和反對(duì)稱(chēng)波函數(shù)的構(gòu)成 I 2 個(gè)全同粒子 Hamilton 量 )(?)(?)()(22?202021222212qHqHqVqVH????????????????????)()()?)()()??222011100qqqHqqqHHiiiiii??????（（設(shè)其不顯含時(shí)間，則對(duì)全同粒子是一樣的，II 單粒子波函數(shù) 稱(chēng)為單粒子波函數(shù)。.)2,1()( ?nq ni?（一） 2 個(gè)全同粒子