【正文】 167。 1 全同粒子的特性 167。 2 全同粒子體系波函數 Pauli 原理 167。 3 兩電子自旋波函數 167。 4 氦原子（微擾法） 第七章 全同粒子 （一）全同粒子和全同性原理 （二）波函數的對稱性質 （三）波函數對稱性的不隨時間變化 （四） Fermi 子和 Bose 子 167。 1 全同粒子的特性 （ 1）全同粒子 質量、 電荷、自旋等固有性質完全相同的微觀粒子。 （ 2）經典粒子的可區(qū)分性 經典力學中，固有性質完全相同的兩個粒子，是可以區(qū)分的。因為二粒子在運動中，有各自確定的軌道，在任意時刻都有確定的位置和速度。 軌道速度位置 ????可判斷哪個是第一個粒子哪個是第二個粒子 1 2 1 2 （一）全同粒子和全同性原理 （ 3）微觀粒子的不可區(qū)分性 微觀粒子運動 服從 量子力學 用 波函數描寫 在波函數重疊區(qū) 粒子是不可區(qū)分的 （ 4）全同性原理 全同粒子所組成的體系中，二全同粒子互相代換不引起體系物理狀態(tài)的改變。 全同性原理是量子力學的基本原理之一。 （ 1） Hamilton 算符的對稱性 N 個全同粒子組成的體系，其 Hamilton 量為： 個粒子的坐標和自旋。為第其中 isrqqqVtqUtqqqqqHiiijiNjiiiNiNji},{),(),(2),(? 22121????????????? ???? ???? ?調換第 i 和第 j 粒子， 體系 Hamilton 量不變。 即： ),(?),(? 2121 tqqqqqHtqqqqqH NjiNij ?????? ?表明， N 個全同粒子組成的體系的 Hamilton 量具有交換對稱性，交換任意兩個粒子坐標（ q i , q j ) 后不變。 （二）波函數的對稱性質 （ 2）對稱和反對稱波函數 考慮全同粒子體系的含時 Shrodinger 方程 ),(),(?),(212121tqqqqqtqqqqqHtqqqqqtiNjiNjiNji???????????????將方程中（ q i , q j ) 調換，得： ),(),(?),(212121tqqqqqtqqqqqHtqqqqqtiNijNijNij???????????????由于Hamilton 量對于（ q i , q j ) 調換不變 ),(),(? 2121 tqqqqqtqqqqqH NijNji ?????? ??表明 ：（ q i , q j ) 調換前后的波函數都是 Shrodinger 方程的解。 根據全同性原理： ???????),(),(2121tqqqqqtqqqqqNijNji??????描寫同一狀態(tài)。 因此，二者相差一常數因子。 ),(),( 2121 tqqqqqtqqqqq NjiNij ?????? ??? ?再做一次（ q i , q j ) 調換 ),(),(),(2122121tqqqqqtqqqqqtqqqqqNjiNijNji????????????????112 ???? ??所以),(),(12121 tqqqqqtqqqqq NijNji ?????? ???? 變，即二粒子互換后波函數不?),(),(12121 tqqqqqtqqqqq NijNji ?????? ?????? 號，即二粒子互換后波函數變?對稱波函數 反對稱波函數 引入粒子坐標交換算符 ),(),(?),(??),(?),(),(),(?22jijijijijiijjiijijijijij????????????????????的本征態(tài)。本征值反對稱波函數是的本征態(tài)；本征值對稱波函數是，所以1?1?1???????????ijij全同粒子體系波函數的這種對稱性不隨時間變化，即初始時刻是對稱的，以后時刻永遠是對稱的； 初始時刻是反對稱的，以后時刻永遠是反對稱的。 證 方法 I 設全同粒子體系波函數 ?s在 t 時刻是對稱的，由體系哈密頓量是對稱的，所以 H ?s 在 t 時刻也是對稱的。 是對稱的。中式右的方程是一樣的，所以因為等式兩邊對稱性應sss tHtiS h r o d i n g er???????? ??在 t+dt 時刻，波函數變化為 dtt ss ?????對稱 對稱 二對稱波函數之和仍是對稱的 依次類推，在以后任何時刻，波函數都是對稱的。 同理可證： t 時刻是反對稱的波函數 ?a，在 t以后任何時刻都是反對稱的。 （三）波函數對稱性的不隨時間變化 方法 II ? ?變。交換對稱性不隨時間改是守恒量，即ijij H ???? ?0?,??全同粒子體系哈密頓量是對稱的 結論： 描寫全同粒子體系狀態(tài)的波函數只能是對稱的或反對稱的，其對稱性不隨時間改變。如果體系在某一時刻處于對稱（或反對稱）態(tài)上，則它將永遠處于對稱（或反對稱）態(tài)上。 實驗表明：對于每一種粒子，它們的多粒子波函數的交換對稱性是完 全確定的，而且該對稱性與粒子的自旋有確定的聯(lián)系。 （ 1） Bose 子 凡自旋為 ? 整數倍（ s = 0， 1， 2， …… ) 的粒子，其多粒子波函數對于交換 2 個粒子總是對稱的，遵從 Bose統(tǒng)計，故稱為 Bose 子 如： ? 光子 （ s =1）； ? 介子 （ s = 0）。 （四） Fermi 子和 Bose 子 （ 2） Fermi 子 凡自旋為 ? 半奇數倍（ s =1/2， 3/2， …… ) 的粒子，其多粒子波函數對于交換 2 個粒子總是反對稱的，遵從 Fermi 統(tǒng)計，故稱為 Fermi 子。 例如：電子、質子、中子（ s =1/2）等粒子。 （ 3）由 “ 基本粒子 ” 組成的復雜粒子 如： ? 粒子（氦核）或其他原子核。 如果在所討論或過程中，內部狀態(tài)保持不變，即內部自 由度完全被凍結，則全同概念仍然適用，可以作為一類 全同粒子來處理。 子粒子）是（（氘核）和例如： B o seHeH ?242121偶數個 Fermi 子組成 Bose 子組成 子是（氚核）和例如： F e rm iHeH 132131奇數個 Fermi子組成 奇數個 Fermi子組成 （一） 2 個全同粒子波函數 （二） N 個全同粒子體系波函數 （三） Pauli 原理 167。 2 全同粒子體系波函數 Pauli 原理 （ 1）對稱和反對稱波函數的構成 I 2 個全同粒子 Hamilton 量 )(?)(?)()(22?202021222212qHqHqVqVH????????????????????)()()?)()()??222011100qqqHqqqHHiiiiii??????（（設其不顯含時間，則對全同粒子是一樣的，II 單粒子波函數 稱為單粒子波函數。.)2,1()( ?nq ni?（一） 2 個全同粒子