【正文】 波函數(shù) III 交換簡并 粒子 1 在 i 態(tài)，粒子 2 在 j 態(tài)，則體系能量和波函數(shù)為： ?????????)()(), 2121 qqqqEjiji????（驗證： ),),?2121 qqEqqH （（ ???粒子 2 在 i 態(tài)，粒子 1 在 j 態(tài)，則體系能量和波函數(shù)為： ?????????)()(), 1212 qqqqEjiji????（。故稱該簡并為交換簡并互換得到，狀態(tài)可通過兩種能量是簡并的，由于這（和（狀態(tài)211221 ),),qqqqqq???)()()](?)(?[),)](?)(?[ 212020212020 qqqHqHqqqHqH ji ?????? （)]()(?)[()()]()(?[ 22020110 qqHqqqqH jiji ???? ??)()()()( 2121 qqqq jijjii ?????? ??)()()( 21 qq jiji ???? ?? ), 21 qqE （??IV 滿足對稱條件波函數(shù)的構成 全同粒子體系要滿足對稱性條件，而 ? (q1,q2) 和 ? (q2,q1) 僅當 i = j 二態(tài)相同時，才是一個對稱波函數(shù)； 當 i ? j 二態(tài)不同時，既不是對稱波函數(shù)，也不是反對稱波函數(shù)。所以 ? (q1,q2) 和 ? (q2,q1) 不能用來描寫全同粒子體系。 構造具有對稱性的波函數(shù) )],),[),)],),[),122121122121qqqqCqqqqqqCqqAS（（（（（（??????????C 為歸一化系數(shù) 顯然 ?S (q1,q2) 和 ?A (q1,q2)都是 H的本征函數(shù)，本征值皆為 ： jiE ?? ??V ?S 和 ?A 的歸一化 若單粒子波函數(shù)是正交歸一化的，則 ? (q1,q2) 和 ? (q2 , q1) 也是正交歸一化的 證： 1)()()))())()),),222*111*21212*1*212121*?????? ?????dqqqdqqqdqdqqqqqdqdqqqqqjjiijiji????????（（（（（（同理： 1),),211212* ????? dqdqqqqq （（0)()()))())()),),222*111*21211*2*212112*?????? ?????dqqqdqqqdqdqqqqqdqdqqqqqjiijjiji????????（（（（（（而 同理： 0),), 211221* ????? dqdqqqqq （（證畢 首先證明 21122112*21*221*)],),) ] [,),[1dqdqqqqqqqqqCdqdqSS（（（（ ??????????????然后考慮 ?S 和 ?A 歸一化 211212*1221*2112*2121*2)],),),),),),),),[dqdqqqqqqqqqqqqqqqqqC（（（（（（（（????????????? ??212]1001[ 22 ???????? CCC則歸一化的 ?S )],),[21), 122121 qqqqqqS （（（ ?????同理對 ?A 有： )],),[21), 122121 qqqqqqA （（（ ?????上述討論是適用于二粒子間無相互作用的情況，當粒子間有互作用時， ?????????)()(),)()(),12122121qqqqqqqqjiji????（（但是下式仍然成立 ???????????),),),?),),),?121221212121qqEqqqqHqqEqqqqH（（（（（（)],),[21), 122121 qqqqqqAS （（（ ?????歸一化的 ?S ?A 依舊 因 H 的對稱性式 2成立 （ 1） Shrodinger 方程的解 上述對 2個全同粒子的討論可以推廣到 N個全同粒子體系，設粒子間無互作用，單粒子 H0 不顯含時間，則體系 )(?)(?)(?)(?? 0102020 nNnN qHqHqHqHH ??????? ???????????)()()?)()()?)()()?022201110NkkNkNjjjiiiqqqHqqqHqqqH?????????（（（????????????????????????)()()(),(?2121 NkjiNkjiqqqqqqEEHS h r o d i n g er?????????其解為：方程：體系單粒子本征方程： （二） N 個全同粒子體系波函數(shù) （ 2） Bose 子體系和波函數(shù)對稱化 )]())()[21)],),[21),1221122121qqqqqqqqqqjijiS???? （（（（（???????2 個 Bose 子體系，其對稱化波函數(shù)是： 1， 2 粒子在 i， j態(tài)中的一種排列 N 個 Bose 子體系，其對稱化波函數(shù)可類推是： )]()()[), 2121 NkjipNSqqqpCqqq ??? ?? （（ ???N 個 粒子在 i， j … k 態(tài)中的一種排列 歸一化系數(shù) 對各種可能排列 p 求和 !!1NnC kk???歸一化系數(shù)：nk 是單粒子態(tài)?k 上的粒子數(shù) 例 : N = 3 Bose 子體系 ,，設有三個單粒子態(tài)分別記為 ?1 、 ?2 、 ?3 ，求：該體系對稱化的波函數(shù)。 )]()())()())()())()())()())()()[31),233211331221132231231231133221332211321111qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqS??????????????????（（（（（（（???????I。 n1=n2=n3=1 II。 n1=3， n2=n3=0 n2=3， n1=n3=0 n3=3， n2=n1=0 )()()), 312111321300 qqqqqqS ???（（ ??)()()), 322212321030 qqqqqqS ???（（ ??)()()), 332313321003 qqqqqqS ???（（ ??III。 n1=2， n2=1， n3=0。 )]()())()())()()[!3 !0!1!2), 1221312231113221113212 1 0 qqqqqqqqqqqqS ????????? （（（（ ???? 另外還有 5 種可能的狀態(tài)，分別是： n1=1， n2=0， n3=2 )]()())()())()()[!3 !2!0!1), 132331331321332311321102 qqqqqqqqqqqqS ????????? （（（（ ????n1=0， n2=1， n3=2 )]()())()())()()[!3 !2!1!0), 13