辛普生法則在公路匝道中(已修改)
2025-05-30 22:09 本頁面
【正文】 辛普生法則在公路匝道中及 邊樁坐標計算中的應(yīng)用 目前 在公路匝道中、邊樁計算中采用的計算公式較多，但大部分采用泰勒級數(shù)展開公式進行計算。當在不同 曲線元 上計算就需要用不同的計算公式，這給使用 普通計算器 計算帶來很大不便。當遇有卵形曲線或緩和曲線的圓 曲線半徑較小時，往往因公式 選用 不當帶來計算誤差 ，雖然 泰勒 級數(shù)展開公式可以進行多項次展開，但公式過于繁雜，同時也會增加計算難度。而采用辛普生法則進行計算就非常簡便，該公式可以適用于任意的直線段、圓曲線段、緩和曲線段上中、邊樁，并且其計算是可逆的。下面就該法則在公路工程測量計算中的具體應(yīng)用進行解析。 一、曲線元上任意點的切線方位角推導(dǎo) 曲線平面線形組合大致分基本型、 S型、卵形、凸形、復(fù)合型和 C型等，無論哪種組合型式，其平面線形計算的復(fù)雜性均主要體現(xiàn)在緩和曲線的計算上。 卵形曲線中的緩和曲線 EJFβ AAα 1αBMR 1Rβ BPDCQ 1α如圖（ 1），在半徑分別為 R R2（ R1 R2）的兩段圓曲線之間插入緩和曲線段 AQB， 設(shè)曲線 MAQB為一段緩和曲線。M、 A、 B的半徑分別為 ∞、 R R2，切線分別為 ME、 AJ、BF； CAQ1是半徑為 R1的圓弧段并在 A點與緩和曲線公切，Q2BD是半徑為 R2的圓弧段并在 B點與緩和曲線公切。令MA=L1， MB=L2， LS＝ L1－ L2。 緩和曲線參數(shù)為： A2=R1R2 LS /（ R1R2） 公式（ 1） 則有： L1= A2/ R1= R2LS /（ R1－ R2）； L2= A2/ R2= R1LS /（ R1－ R2）； βA=L12/2A2＝ R2LS/（ 2R1（ R1－ R2））； βB＝L22/2A2＝ R1LS/（ 2R2（ R1－ R2））； 可以推出 ： α=βB βA ＝ (1/R1+1/R2)LS/2 公式（ 2） （ α：緩和曲線 AB段轉(zhuǎn)向角。 對于曲線元上任意點 P， P點處曲率半徑為 1/Rp，該點處轉(zhuǎn)向角為 αP ， 曲線元起點 A到 P點的弧長為 L，根據(jù)式（ 2）有： αP＝（ 1/R1+1/RP) L /2 (3) 由式（ 1）得：（ R1L＋ A2） RP＝ R1A2，可以求得 1/RP＝ 1/R1＋L/A2；將 1/RP代入式（ 3）得： αP＝ L/R1＋ L2（ 1/R2－ 1/R1） /（ 2LS） 公式 (4) 故緩和曲線上任意一點 P的切線方位角： TP＝ TA177。 αP＝ TA177。 （ L/R1＋ L2（ 1/R2－ 1/R1） /（ 2LS）） 公式 (5) 其它曲線元 對于基本型緩和曲線， R1＝ ∞（或 R2＝ ∞）代入式（ 4）得：αP＝ L2/（ 2R2LS）；與我們常用公式一樣。對于圓曲線段， R1＝R2，代入式（ 4）得： αP＝ L/R1；與我們常用公式一樣。對于直線段， R1＝ R2＝ ∞，代入式（ 4）得： αP＝ 0。 因此可以得出這樣的結(jié)論：任何曲線元上任意一點的切線方位角均可以用式（ 5）進行計算。 二、中、邊樁坐標計算 使用辛普生積分法則進行計算 方位角 TP＝ TA177。 αP＝ TA＋ K(L/R1＋ L2（ 1/R2－ 1/R1） /（ 2LS） )； (方位角 TP計算結(jié)果為弧度； K為判斷符，左偏?。?1，右偏取＋ 1)。 中樁坐標為： XP＝ XA＋ ∫0L cos（ T） dx 公式（ 6） YP＝ YA＋ ∫0L sin（ T） dx 公式（ 7） casio fx4800p等計算器具有積分功能，其計算采用了辛普生法則進行積分計算，式（ 6）和式（ 7）轉(zhuǎn)換成計算器計算模型為： XP＝ XA＋ ∫
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