【正文】 高 中 數(shù)學 精講精練 第二章 函數(shù) A 【知識 導讀 】 【 方 法點撥】 函數(shù)是中學數(shù)學中最重要，最基礎的內(nèi)容之一，是學習高等數(shù)學的基礎．高中函數(shù)以具體的冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的概念，性質(zhì)和圖像為主要研究對象，適當研究分段函數(shù)，含絕對值的函數(shù)和抽象函數(shù)；同時要對初中所學二次函數(shù)作深入理解． “定義法”解題．定義是一切法則與性質(zhì)的基礎，是解題的基本出發(fā)點．利用定義，可直接判斷所給的對應是否滿足函數(shù)的條件，證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性等． “數(shù)形 結(jié)合思想”滲透．“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”．當你所研究的問題較為抽象時，當你的思維陷入困境時，當你對雜亂無章的條件感到頭緒混亂時，一個很好的建議：畫個圖像！利用圖形的直觀性，可迅速地破解問題，乃至最終解決問題． “分類討論思想”應用． 分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學思想，同時也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法 ． 進行分類討論時，我們要遵循的原則是：分類的對象是確定的，標準是統(tǒng)一的，不遺漏、不重復，科學地劃分，分清主次，不越級討論。其中最重要的一條是 “不漏不重” ． “函數(shù)與方程思想”．函數(shù)與方程思想是最重要，最基本的數(shù)學思想方法之一，它在整個高中數(shù)學中的地位與作用很高．函數(shù)的思想包括運用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題，轉(zhuǎn)化問題和解決問題． 第 1 課 函數(shù)的概念 【 考點導讀 】 映射 特殊化 函數(shù) 具體化 一般化 概念 圖像 表 示 方 法 定義域 值域 單調(diào)性 奇偶性 基本初等函數(shù)Ⅰ 冪函數(shù) 指數(shù)函數(shù) 對數(shù)函數(shù) 二次函數(shù) 指數(shù) 對數(shù) 互 逆 函數(shù)與方程 應用問題 ，通過集合與對應的語言刻畫函數(shù)，體會對應關系在刻畫函數(shù)概念中的作用；了解構成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域． ，能根據(jù)函數(shù)的三要素判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)． 【基礎 練習 】 1． 設有函數(shù)組： ① yx? ， 2yx? ； ② yx? ， 3 3yx? ； ③ yx? ， xyx?； ④ 1 ( 0 ),1 ( 0 ),xy x??? ????，xy x? ； ⑤ lg 1yx??， lg10xy? ． 其中表示同一個函數(shù)的有 ___②④⑤ ___． { 0 2}M x x? ? ?， { 0 2}N y y? ? ?，從 M 到 N 有四種對應如圖所示： 其中能表示為 M 到 N 的函數(shù)關系的有 _____②③ ____． 下列函數(shù)定義域 ： (1) ( ) 1 3f x x?? 的定義域為 ______________； (2) 21() 1fx x? ?的定義域為 ______________； (3) 1( ) 1f x x x? ? ?的定義域為 ______________ ； (4) 0( 1)() xfxxx?? ?的定義域為_________________． 4． 已知三個函 數(shù) :(1) ()()Pxy Qx?； (2) 2 ()ny P x? ( *)nN? ； (3) ()log ( )Qxy P x? ． 寫出使各函數(shù)式有意義時， ()Px， ()Qx的約束條件： (1)______________________； (2)______________________； (3)______________________________． 下列函數(shù)值域 ： (1) 2()f x x x??， {1,2,3}x? ；值域是 {2,6,12} ． (2) 2( ) 2 2f x x x? ? ?； 值域是 [1, )?? ． (3) ( ) 1f x x??， (1,2]x? ． 值域是 (2,3] ． 【 范例解析 】 例 ： ① 2 1() 1xfx x ?? ? ， ( ) 1g x x??； ② ( ) 1 1f x x x? ? ? ?， 2( ) 1g x x??； 1 2 2 x y O ① y 1 2 2 x O ② 1 2 2 x O ③ y 1 2 2 x O ④ y R { 1}xx?? [ 1,0) (0, )? ? ?? ( , 1) ( 1, 0)?? ? ? ? ( ) 0Qx? ( ) 0Px? ( ) 0Qx? 且 ( ) 0Px? 且 ( ) 1Qx? ③ 2( ) 2 1f x x x? ? ?， ( ) 1g x x??； ④ ( ) 2 1f x x??， ( ) 2 1g t t??． 其中表示同一個函數(shù)的有 ③④ ． 分析：判斷兩個函數(shù)是否為同一函 數(shù)，關鍵看函數(shù)的三要素是否相同 ． 解：在 ① 中， ()fx的定義域為 { 1}xx? ， ()gx 的定義域為 R ，故不是同一函數(shù)； 在 ② 中， ()fx的定義域為 [1, )?? ， ()gx的定義域為 ( , 1] [1, )?? ? ? ??，故不是同一函數(shù)； ③④ 是同一函數(shù) ． 點評：兩個函數(shù)當它們的三要素完全相同時，才能表示同一函數(shù) ． 而當一個函數(shù)定義域和對應法則確定時，它的值域也就確定，故判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)，只需判斷它的定義域和對應法則是否相同即可 ． 例 ： ① 21 12yxx? ? ??； ② 12() log (2 )xfx x? ?； 解：（ 1） ① 由題意得：22 0,1 0,xx? ????????解得 1x?? 且 2x?? 或 1x? 且 2x? ， 故定義域為 ( , 2 ) ( 2 , 1 ] [1 , 2 ) ( 2 , )? ? ? ? ? ? ? ? ? ?． ② 由題意得：12log (2 ) 0x??，解得 12x??，故定義域為 (1,2) ． 例 ： （ 1） 2 42y x x? ? ? ?， [0,3)x? ； （ 2） 22 1xy x? ? ()xR?； （ 3） 21y x x? ? ? ． 分析：運用配方法，逆求法，換元法等方法求函數(shù)值域 ． （ 1） 解： 224 2 ( 2) 2y x x x? ? ? ? ? ? ? ?， [0,3)x? ， ?函數(shù)的值域為 [ 2,2]? ； （ 2） 解法一：由 2221111xy xx? ? ???，21011x???，則21101x? ? ? ??， 01y? ? ? ，故函數(shù)值域為 [0,1) ． 解法二：由 22 1xy x? ?，則 21 yx y? ?， 2 0x ? ， ? 01yy??， 01y? ? ? ，故函數(shù)值域為 [0,1) ． （ 3）解：令 1xt?? ( 0)t? ，則 2 1xt??， 222 1 ( 1 ) 2y t t t? ? ? ? ? ? ?， 當 0t? 時， 2y?? ， 故函數(shù)值域為 [ 2, )? ?? ． 點評：二次函數(shù)或二次函數(shù)型的函數(shù)求值域可用配方法；逆求法利用函數(shù)有界性求函數(shù)的值域；用換元法求函數(shù)的值域應注意新元的取值范圍 ． 【反饋 演練 】 1．函數(shù) f(x)＝ x21? 的定義域是 ___________． ( ,0]?? 2．函數(shù))34(lo g 1)( 22 ???? xxxf的定義域為 _________________． 3. 函數(shù)21 ()1y x Rx???的值域為 ________________． 4. 函數(shù) 2 3 13 4y x x? ? ? ?的值域為 _____________． 5．函數(shù) )34(log xxy ?? 的定義域為 _____________________． f(x)=132 ???xx的定義域為 A， g(x)=lg[(x－ a－ 1)(2a－ x)](a1) 的定義域為 B． (1) 求 A； (2) 若 B? A， 求實數(shù) a 的取值范圍 ． 解 ： (1)由 2－ 13??xx ≥0， 得 11??xx ≥0， x－ 1 或 x≥1， 即 A=(－ ∞， － 1)∪ [1， + ∞) ． (2) 由 (x－ a－ 1)(2a－ x)0， 得 (x－ a－ 1)(x－ 2a)0． ∵ a1， ∴ a+12a， ∴ B=(2a， a+1) ． ∵ B? A， ∴ 2a≥1或 a+1≤－ 1， 即 a≥21 或 a≤－ 2， 而 a1， ∴ 21 ≤a1 或 a≤－ 2， 故當 B? A 時 ， 實數(shù) a 的取值范圍是 (－ ∞,－ 2]∪ [21 ,1)． 第 2 課 函數(shù)的表示方法 【 考點導讀 】 （如圖像法，列表法，解析法）表示函數(shù) ． ：（ 1）根據(jù)某個實際問題須建立一種函數(shù)關系式；（ 2）給出函數(shù)特征，利用待定系數(shù)法求解析式；（ 3）換元法求解析式；（ 4）解方程組法求解析式 ． (1,2) (2,3)? (0,1] ( ,4]?? 13[ ,0) ( ,1]44?? 【基礎 練習 】 ( ) 2 3f x x??， ( ) 3 5g x x??， 則 ( ( ))f g x ? _________； ( ( ))g f x ? __________． 1() 1fx x? ? ， 2( ) 2g x x??,則 ( 1)g??_____3_______； [ (2)]fg ? 17； [ ( )]f g x ?213x?． ()fx是一次函數(shù)， 且 (3) 7f ? ， (5) 1f ?? ,則 (1)f ? __15___． f(x)＝2| 1 | 2,| | 1,1 , | | 11xxxx? ? ???? ????，則 f[f(21 )]＝ _____________． 解析式為 __________________________． 【 范例解析 】 例 ()y f x? 的最小值等于 4，且 (0) (2) 6ff??，求 ()fx的解析式 ． 分析：給出函數(shù)特征，可用待定系數(shù)法求解 ． 解法一：設 2( ) ( 0)f x ax bx c a? ? ? ?，則26,4 2 6,4 4.4ca b cac ba?? ???? ? ??? ?? ???解得 2,4,6.abc????????? 故所求的解析式為 2( ) 2 4 6f x x x? ? ?． 解法二： (0) (2)ff? ， ?拋物線 ()y f x? 有對稱軸 1x? ． 故可設 2( ) ( 1 ) 4( 0)f x a x a? ? ? ?． 將點 (0,6) 代入解得 2a? ． 故所求的解析式為 2( ) 2 4 6f x x x? ? ?． 解法三：設 ( ) ( ) x f x??，由 (0) (2) 6ff??，知 ( ) 0Fx? 有兩個根 0， 2， 可設 ( ) ( ) 6 ( 0 ) ( 2 )F x f x a x x? ? ? ? ?( 0)a? ， ( ) ( 0 ) ( 2 ) 6f x a x x? ? ? ? ?， 將點 (1,4) 代入解得 2a? ． 故所求的解析式為 2( ) 2 4 6f x x x? ? ?． 點評：三種解法均是待定系數(shù)法 ，也是求二次函數(shù)解析式常用的三種形式：一般式，頂點式，零點式 ． 例 ，甲從家到公園的距離與乙從家到公園的距離都是 2km，甲 10時出發(fā)前往乙家 ． 如圖， 表示甲從出發(fā)到乙家為止經(jīng)過的路程 y（ km）與時間 x（分）的關系 ． 試寫出()y f x? 的函數(shù)解析式 ． 分析：理解題意，根據(jù)圖像待定系數(shù)法求解析式 ． 解：當 [0,30]x? 時，直線方程為 115yx? ，當 [40,60]x? 時，直線方程為 1 210yx??， 1[ 0 , 30 ] ,15( ) 2 ( 30 , 40 ) ,1 [ 40 , 60 ] .210x xf x xxx?? ??? ? ??? ?? ?? 點評：建立函數(shù)的解析式是解決實際問題的關鍵，把題中文字語言描述的數(shù)學關系用數(shù)學符號語言表第 5 題 x y O 1 2 3 4 10 20 30 40 50 60 例 2 67x? 64x? 413 |1|2323 ??? xy (0≤ x≤ 2) 達 ． 要注意求出解析式后，一定要寫出其定義域 ． 【反饋 演練 】 1．若 () 2xxeefx ??? ， () 2xxeegx ??? ，則 (2 )fx? （ D ） Ａ． 2()fx Ｂ． 2[ ( ) ( )]f