【正文】 我的宗旨：授人以漁 1294383109 歡迎互相交流 訪問(wèn)我的空間 第六講 解析幾何 (文 ) 第一節(jié) 曲線與方程 曲線與方程是解析幾何的基本概念 ,在近年的高考試題中 ,重點(diǎn)考查曲線與方程的關(guān)系 ,考查曲線方程的探求方法 ,多以綜合解答題的第 ⑴ 小問(wèn)的形式出現(xiàn) ,就這部分考題來(lái)說(shuō) ,屬于中檔題 ,難度值一般在 ~ 之間 . 考試要求 ⑴ 了解方程的曲線與曲線的方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系 . ⑵ 掌握一般曲線 (點(diǎn)的軌跡 )方程的求解方法和用定義法求圓錐曲線方程 . 題型一 曲線與方程 例 1 設(shè)集合 { ( , ) | ( , ) 0 , , }x y F x y x y R??非空 .如果命題 “坐標(biāo)滿足方程 ( , ) 0F x y ? 的點(diǎn)都在曲線 C 上 ”不正確 ,給出以下四個(gè)命題： ① 曲線 C 上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程 ( , ) 0F x y ? ； ②坐標(biāo)滿足方程 ( , ) 0F x y ? 的點(diǎn)有些在 C 上 ,有些不在 C 上； ③ 坐標(biāo)滿足方程 ( , ) 0F x y ? 的點(diǎn)都不在曲線 C 上； ④ 一定有不在曲線 C 上的點(diǎn) ,并且其坐標(biāo)滿足方程 ( , ) 0F x y ? .那么正確命題的個(gè)數(shù)是 ( ). A. 1 點(diǎn)撥： 直接用定義進(jìn)行判斷 . 解： “坐標(biāo)滿足方程 ( , ) 0F x y ? 的點(diǎn)都在曲線 C 上 ”不正確 ,意味著 “坐標(biāo)滿足方程( , ) 0F x y ? 的點(diǎn)不都在曲線 C 上 ”是正確的 ,即一定有不在曲線 C 上的點(diǎn) ,并且其坐標(biāo)滿足方程 ( , ) 0F x y ? ,∴④ 正確；曲線 C 上的點(diǎn)的坐標(biāo)可以有不滿足方程 ( , ) 0F x y ? 的 ,∴① 錯(cuò)；若滿足方程 ( , ) 0F x y ? 的 (, )xy 只有一解 ,則 ② 錯(cuò)； “都 ”的否定是 “不都 ”,而不是 “都不 ”,∴③ 錯(cuò) .故選 A. 易錯(cuò)點(diǎn)： 定義把握不準(zhǔn)確 ,關(guān)鍵字句認(rèn)識(shí)不到位 ,概念理解不深刻 ,均有可能錯(cuò)選其它選項(xiàng) . 變式與引申 1 .方程 221( 0)x y xy? ? ?的曲線形狀是 ( ). 00( , )Px y 不在直線 l ： ( , ) 0f x y ? 上 ,則方程 00( , ) ( , ) 0f x y f x y??表示一條( ). P 且平行于 l 的直線 P 且垂直于 l 的直線 P 但平行于 l 的直線 P 但垂直于 l 的直線 題型二 代入法 (相關(guān)點(diǎn)法 )求曲線方程 例 2 已知點(diǎn) (1,0)F ,點(diǎn) A 、 B 分別在 x 軸、 y 軸上 ,且 2AP AB? , AB FB? ,當(dāng)點(diǎn) B 在 y 軸上運(yùn)動(dòng)時(shí) ,求點(diǎn) P 的軌跡方程 . 點(diǎn)撥： 由 AB FB? 確定 A 與 B 的坐標(biāo)關(guān)系 ,由 2AP AB? 建立動(dòng)點(diǎn) P 與 A 、 B 的坐標(biāo)關(guān)系 ,用代入法求軌跡方程 . O x y 1 1? 1? 1 A. O x y 1 1? 1 C. ? ? ? ? 1? O x y 1 1? 1 B. ? ? ? ? 1? O x y 1 1? 1 D. ? ? 1? 圖 6 11?? 我的宗旨：授人以漁 1294383109 歡迎互相交流 訪問(wèn)我的空間 解： 設(shè) ( , )Pxy , ( ,0)Aa , (0, )Bb,又 (1,0)F ,則 ( , )AP x a y?? , ( , )AB a b?? , ( 1, )FB b?? .由AB FB? , 得 2( , ) ( 1 , ) 0A B F B a b b a b? ? ? ? ? ? ? ? ① . 由 2AP AB? , 得( , ) 2( , )x a y a b? ? ? ,∴ 2x a a? ?? , 2yb? ,即 ax?? , 2yb? ,代入 ① 得 , 22( ) 0yx? ? ? ,即2 4yx? ,當(dāng) 0x? 時(shí) ,三點(diǎn) A 、 B 、 P 重合 ,不滿足條件 AB FB? ,∴ 0x? ,故點(diǎn) P 的軌跡方程為 2 4 ( 0)y x x??. 易錯(cuò)點(diǎn)： 忽視軌跡方程中的 0x? . 變式與引申 O 為坐標(biāo)原點(diǎn) ,點(diǎn) M 、 P 分別在 x 軸、 y 軸上運(yùn)動(dòng) ,且 | | 7MP? ,動(dòng)點(diǎn) N 滿足 25MN NP?,求動(dòng)點(diǎn) N 的軌跡方程 . 題型三 待定系數(shù)法、直接法求曲線方程 例 3 已知橢圓 C 的中心為直角坐標(biāo)系 xOy 的原點(diǎn) ,焦點(diǎn)在 x 軸上 ,它的一個(gè)頂點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別是 7 和 1 . ⑴ 求橢圓 C 的方程； ⑵ 若 P 為橢圓 C 的動(dòng)點(diǎn) ,M 為過(guò) P 且垂直于 x 軸的直線上的點(diǎn) , ||OPOM e?(e 為橢圓 C 的離心率 ),求點(diǎn) M 的軌跡方程 ,并說(shuō)明軌跡是什么曲線 . 點(diǎn)撥： 問(wèn)題 ⑴ 用待定系數(shù)法求橢圓 C 的方程；問(wèn)題 ⑵ 將點(diǎn) P 、 M 的坐標(biāo)代入滿足的關(guān)系式中 ,化簡(jiǎn)后可得到點(diǎn) M 的軌跡方程 ,然后說(shuō)明其軌跡是什么曲線 ,并指明變量 x 的取值范圍 . 解： ⑴ 設(shè)橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 22 1( 0)xyab ab? ? ? ?,半焦距為 c ,則 17acac???? ???,解得4a? , 3c? , ∴ 2 7b? .故橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 2216 7 1xy??. ⑵ 設(shè) ( , )Mxy , 1( , )Pxy , 其中 [4,4]x?? . 由 已 知 得 221222xyxye?? ?, 而34e? ,∴ 2 2 2 211 6 ( ) 9 ( )x y x y? ? ?.由點(diǎn) P 在橢圓 C 上 ,得 221 112 716 xy ?? ,代入上式并化簡(jiǎn)得29 112y ? ,故點(diǎn) M 的軌跡方程為 473 ( 4 4 )yx? ? ? ? ?軌跡是兩條平行于 x 軸的線段 . 易錯(cuò)點(diǎn)： 第 ⑵ 小問(wèn)中未注意到點(diǎn) M 與 P 的坐標(biāo)關(guān)系 ,會(huì)造成求 點(diǎn) M 軌跡方程的思路受阻；忽視變量 x 的范圍 ,將出現(xiàn)對(duì)所求軌跡曲線的錯(cuò)誤判斷 . 變式與引申 C ： 22 1( 0)xyab ab? ? ? ?的離心率為 33,以原點(diǎn)為圓心 ,橢圓短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線 2yx?? 相切 . ⑴ 求橢圓 C 的方程； 我的宗旨：授人以漁 1294383109 歡迎互相交流 訪問(wèn)我的空間 ⑵ 設(shè)該橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為 1F 、 2F ,直線 1l 過(guò) 2F 且與 x 軸垂直 ,動(dòng)直線 2l 與 y 軸垂直 ,2l交 1l 與點(diǎn) P ,求線段 1PF 垂直平分線與 2l 的交點(diǎn) M 的軌跡方程 ,并指明曲線類型 . 題型四 定義法求曲線方程與實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題 例 4 為了考察冰川的融化狀況 ,一支 科考隊(duì)在某冰川山上相距 8 km 的 A 、 B 兩點(diǎn)各建一個(gè)考察基地 ,視冰川面為平面形 ,以過(guò) A 、 B 兩點(diǎn)的直線為 x 軸 ,線段 AB 的垂直平分線為 y 軸建立平面直角坐標(biāo)系 (如圖所示 ).考察范圍到 A 、 B 兩點(diǎn)的距離之和不超過(guò) 10 km 的區(qū)域 . ⑴ 求考察區(qū)域邊界曲線的方程； ⑵ 如圖所示 ,設(shè)線段 12PP 是冰川的部分邊界線 (不考慮其他邊界 ),當(dāng)冰川融化時(shí) ,邊界線沿與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動(dòng) ,第一年移動(dòng) km ,以后每年移動(dòng)的距離為前一年的 2 倍 .問(wèn)：經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間 ,點(diǎn) A 恰好在冰川邊界線上？ 點(diǎn)撥： 本題是應(yīng)用題背景下的解析幾何綜合問(wèn)題 ,利用橢圓定義求考察 區(qū)域邊界曲線的方程；綜合運(yùn)用直線方程、點(diǎn)到直線的距離公式、等比數(shù)列 求和公式等知識(shí)能 使第 ⑵ 小問(wèn)獲解 . 解： ⑴ 設(shè)考察區(qū)域邊界曲線上點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 (, )xy .則由 | | | | 10 8PA PB? ? ?知 ,點(diǎn) P 在以 A 、 B 為焦點(diǎn) ,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 2 10a? 的橢圓 上 ,此時(shí)短半軸長(zhǎng) 22543b ???,故考察區(qū)域邊界曲線的方程為 2225 9 1xy??. ⑵ 易知 過(guò)點(diǎn) 1P 、 2P 的直 線方程為 4 3 47 0xy? ? ? ,∴ 點(diǎn) A 到直線 12PP 的距離22| 16 47 | 3154 ( 3)d ??????.設(shè)經(jīng)過(guò) n 年 ,點(diǎn) A 恰好在冰川邊界線上 ,則由題設(shè)及等比數(shù)列求和公式 ,得(2 1) 312 1 5n ?? ? ,解得 5n? .故經(jīng)過(guò) n 年 ,點(diǎn) A 恰好在冰川邊界線上 . 易錯(cuò)點(diǎn)： ⑴ 不能正確建立應(yīng)用題的數(shù)學(xué)模型； ⑵ 數(shù)學(xué)閱讀分析能力不強(qiáng) ,易出現(xiàn)審題錯(cuò)誤 . 變式 與引申 ,科技小組在計(jì)算機(jī)上模擬航天器變軌返回試驗(yàn) ,設(shè)計(jì)方案如圖 ,航天器運(yùn)行 (按順時(shí)針?lè)较?)的軌跡方程為 22100 25 1xy??,變軌 (即航天器運(yùn)行軌跡由橢圓變?yōu)閽佄锞€ )后返回的軌跡是以 y 軸為對(duì)稱軸、 647(0, )M為頂點(diǎn)的拋物線的實(shí)線部分 ,降落點(diǎn)為 (8,0)D .觀測(cè)點(diǎn) (3,0)A 、 (5,0)B 同時(shí)跟蹤航天器 . ⑴ 求航天器變軌后的運(yùn)行軌跡所在的曲線方程； ⑵ 試問(wèn)：當(dāng)航天器在 x 軸上方時(shí) ,觀測(cè)點(diǎn) A 、 B 測(cè)得離航天器的距離 分別為多少時(shí) ,應(yīng)向航天器發(fā)出變軌指令？ 本節(jié)主要考查： ⑴ 知識(shí)點(diǎn)有曲線與方程的關(guān)系、求曲線 (軌跡 )的方程； ⑵ 依據(jù)動(dòng)點(diǎn)軌跡的幾何條件 ,運(yùn)用求曲線 (軌跡 )方程的 方法解決求曲線 (軌跡 )方程的問(wèn)題 ,及應(yīng)用題背景下的求曲線 (軌跡 )方程的問(wèn)題； 2( 5,9)P? 1( 14, 3)P?? ? ? 川 (4,0)B 冰 已 融 化 區(qū) 域 (4,0)A? ? ? x y O 圖 613?? O A D B C y x ? ? ? 圖 6 1 4?? 我的宗旨：授人以漁 1294383109 歡迎互相交流 訪問(wèn)我的空間 ⑶ 求曲線 (軌跡 )方程時(shí)： ① 恰當(dāng)建立坐標(biāo)系 ,使所求方程更簡(jiǎn)單； ② 利用圓錐曲線的定義 ,運(yùn)用平面幾何知識(shí) ,可以大大簡(jiǎn)化求解運(yùn)算過(guò)程 . ⑷ 解析幾何基本思想 (用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題 )、方程思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想、應(yīng)用題建模思想以及分析推理能力、運(yùn)算能力 . 點(diǎn)評(píng)： ⑴ 求曲線 (軌跡 )方程的常用方法有： ① 直接法：直接利用動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件 (一些幾何量的等量關(guān)系 )建立 x ,y 之間的關(guān)系 ( , ) 0f x y ? (如例 3 第 2 問(wèn) ).其一般步驟是：建系設(shè)點(diǎn)、列式、坐標(biāo)代換、化簡(jiǎn)、證明 (證明或判斷所求方程即為符合條件的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程 )； ② 待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型時(shí) ,可先根據(jù)條件設(shè)出所求曲線的方程 ,再由條件確定其待定系數(shù) ,求出曲線的方程 (如例 3 第 1問(wèn) )； ③ 定義法：先根據(jù)條件能得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡符合某種曲線的定義 ,則可用曲線的定義直接寫出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程 (如例 4 )； ④ 代入法 (相關(guān)點(diǎn)法 )：有些問(wèn)題中 ,動(dòng)點(diǎn) ( , )Pxy 是隨著另一動(dòng)點(diǎn) 00( , )Qx y (稱之為相關(guān)點(diǎn) )而運(yùn)動(dòng)的 ,并且點(diǎn) 00( , )Qx y 在某已知的曲線上 ,這時(shí)可先用 x 、 y 的代數(shù)式來(lái)表示 0x 、 0y ,再將 0x 、 0y 的表達(dá)式代入已知曲線 ,即得要求的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程 (如例 2 及變式 ). ⑵ 要注 意求曲線 (軌跡 )方程與求軌跡的區(qū)別：求曲線 (軌跡 )的方程只需根據(jù)條件求出曲線(軌跡 )方程即可；求軌跡則是需先求出軌跡方程 ,再根據(jù)方程形式說(shuō)明或討論 (含參數(shù)時(shí) )曲線圖形的 (形狀、位置、大小 )類型 .解題時(shí)應(yīng)根據(jù)題意作出正確、規(guī)范的解答 . ⑶ 在求出曲線 (軌跡 )的方程時(shí) ,要注意動(dòng)點(diǎn)的取值范圍 ,及時(shí)補(bǔ)漏和去除 “雜點(diǎn) ”,以保證所求曲線 (軌跡 )方程的完整性 . 習(xí)題 61 1 .方程 2x xy x??的曲線是 ( ). 直線 2 .已知雙曲線 22 1( 0 , 0 )xyab ab? ? ? ?的一條漸近線方程是 3yx? ,它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線2 16yx? 的焦點(diǎn)相同 .則雙曲線的方程為 __________ . 22 1( 0)xyab ab? ? ? ?的左、右焦點(diǎn)分別為 1F 、 2F ,離心率 22e?,右準(zhǔn)線方程為2x? . ⑴ 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； ⑵ 過(guò)點(diǎn) 1F 的直線 l 與該橢圓交于 M 、 N 兩點(diǎn) ,且22 2 263|