【正文】 ????,∴ 17a??, 647b?,故曲線(xiàn)方程為 21 6477yx?? ?. 我的宗旨：授人以漁 1294383109 歡迎互相交流 訪(fǎng)問(wèn)我的空間 ⑵ 設(shè)變軌點(diǎn)為 ( , )Cxy ,聯(lián)立 22100 25641771yxyx? ????? ?? ??,得 24 7 36 0yy? ? ? ,∴ 4y? 或 94y??(舍去 ). 由 4y? , 得 6x? 或 6x?? (舍去 ).∴ 點(diǎn) (6,4)C , 此時(shí) , 22 5| | ( 4 6 ) ( 0 4 ) 2AC ? ? ? ? ?, 22| | ( 9 6) ( 0 4) 5BC ? ? ? ? ?.故當(dāng)觀測(cè)點(diǎn) A 、 B 測(cè)得 AC 、 BC 的距離分別為 5| | 2AC? 、| | 5BC? 時(shí) ,應(yīng)向航天器發(fā)出變軌指令 . 習(xí)題 61 1 . D 提示： 由 2x xy x??得 , ( 1) 0x x y? ? ? ,∴ 0x? 或 10xy? ? ? ,故方程的曲線(xiàn)是兩條直線(xiàn) . 2 . 224 12 1xy?? 提示： 由漸近線(xiàn)方程可知 3ba?① .∵ 拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為 (4,0) ,∴ 4c? ② . 又 2 2 2c a b??③ .聯(lián)立 ①②③ ,解得 2 4a? , 2 12b? ,∴ 雙曲線(xiàn)的方程為 224 12 1xy??. 3 .解： ⑴∵ a 、 c 、 b 成等差數(shù)列 ,∴ 24a b c? ? ? ,即 | | | | 4CA CB??,∴ 點(diǎn) C 到。 第四節(jié) 解析幾何的綜合應(yīng)用 解析幾何是歷年高考的熱點(diǎn)，每年高考卷上選擇題、填空題、解答題都會(huì)出現(xiàn)，基本呈現(xiàn)穩(wěn)定的態(tài)勢(shì)，而且解答題難度較大，綜合性強(qiáng)，且經(jīng)常以壓軸題的形式出現(xiàn)， 入手容易但計(jì)算量大，又與其他知識(shí)綜合命題，所以成了大部分學(xué)生在高考中的心理障礙，是解題時(shí)的 “雞肋 ”．復(fù)習(xí)時(shí)如何突破這塊知識(shí) 點(diǎn)，是我們亟待解決的問(wèn)題 .難度值跨度比較大，在 ～ 之間 . 考試要求 （ 1）了解直線(xiàn)、曲線(xiàn)的實(shí)際背景；（ 2）掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；（ 3）了解雙曲線(xiàn)的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道其幾何性質(zhì)；（ 4）了解拋物線(xiàn)的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程，知道其幾何性質(zhì)；（ 5）了解圓錐曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單應(yīng)用；（ 6）掌握數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法 . 題型一 有關(guān)圓知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用 例 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，設(shè)二次函數(shù) 2( ) 2 ( )f x x x b x R? ? ? ?的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，經(jīng)過(guò)這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為 C （ 1）求實(shí)數(shù) b 的取值范圍； （ 2）求圓 C 的方程； （ 3）問(wèn)圓 C 是否經(jīng)過(guò)某定點(diǎn)（其坐標(biāo)與 b 無(wú)關(guān)）？請(qǐng)證明你的結(jié)論 . 點(diǎn)撥：根據(jù)二次函數(shù) 2( ) 2 ( )f x x x b x R? ? ? ?圖象的特點(diǎn)：開(kāi)口向上，與 y 軸交點(diǎn)為 (0, )b可以得出 b 的范圍 .又由圓 C 是過(guò)拋物線(xiàn)與坐標(biāo)軸三交點(diǎn)的圓和圓的一般方程的特點(diǎn)，可以用 b 來(lái)表示圓的一般方程 .再由方程的解和曲線(xiàn)方程的定義可以假設(shè)圓 C 要過(guò)點(diǎn) 00( , )xy 且00,xy不依賴(lài) b ，將該點(diǎn)坐標(biāo)代入圓的方程中，整理變形，再觀察驗(yàn)證圓是否過(guò)定點(diǎn) . 圖 6 3 3?? 我的宗旨：授人以漁 1294383109 歡迎互相交流 訪(fǎng)問(wèn)我的空間 解：（ 1）令 0x? ，得拋物線(xiàn)與 y 軸交點(diǎn)是 (0, )b ，令 2( ) 2 0f x x x b? ? ? ?，由題意 0b?且 4 4 0b?? ? ? ，解得 1b? 且 0b? . （ 2）設(shè)所求圓的一般方程為 22 0x y D x E y F? ? ? ? ?，令 0y? 得 2 0x Dx F? ? ? ，它與 2 20x x b? ? ? 是同一個(gè)方程，故 2D? ， F=b， 令 0x? 得 2 0y Ey F? ? ? ，此方程有一個(gè)根 b 為，代入得 1Eb?? ? 所以圓 C 的方程為 22 2 ( 1 ) 0x y x b y b? ? ? ? ? ?. （ 3）圓 C 過(guò)定點(diǎn) .證明如下：假設(shè)圓 C 過(guò)定點(diǎn) 00( , )xy ( 00,xy不依賴(lài)于 b )將該點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓 C 的方程 ,并變形為 220 0 0 0 02 (1 ) 0x y x y b y? ? ? ? ? ?(*) ，為使 (*) 式對(duì)所有滿(mǎn)足1( 0)bb??的 b 都成立，必須有 010y??，結(jié)合 (*) 式解得 ?00 0,1,xy?? 或 ?00 2,1,xy??? 經(jīng)檢驗(yàn)知點(diǎn)(0,1),( 2,1)? 均在圓 C 上，因此圓 C 過(guò)定點(diǎn) .. 易錯(cuò)：（ 1）中學(xué)生很有可能直接 4 4 0b?? ? ? 解得 1b? 而沒(méi) 0b? ；（ 2）中沒(méi)有意識(shí)到令 0y? ， 2 0x Dx F? ? ? 與 2 20x x b? ? ? 是同一個(gè)方程沒(méi)解出 2D? ， Fb? ；（ 3）對(duì)方程 (*) 不知道怎么下手，從而得不出 010y??. 變式與引申 2( , )( , 0)C t t R tt ??為圓心的圓與 x 軸交于點(diǎn) O 、 ,A 與 y 軸交于點(diǎn) O 、 B ，其中 O 為原點(diǎn) . （ 1）證明： OAB? 的面積為定值； （ 2）設(shè)直線(xiàn) 24yx?? ? 與圓 C 交于點(diǎn) M ， N ，若 ONOM ? ，求圓 C 的方程 . 題型二 圓錐曲線(xiàn)的定義及應(yīng)用 例 2 ：如圖 6 4 1??， 1F 和 2F 分別是雙曲線(xiàn) 2222 1( 0 , 0 )xy abab = 的兩個(gè)焦點(diǎn)， A 和 B是以 O 為圓心，以 1FO 為半徑的圓與該雙曲線(xiàn)左支 的兩個(gè)交點(diǎn)，且 △ ABF2 是等邊三角形，則雙曲線(xiàn)的離心率為（ ） . （ A） 3 （ B） 5 （ C） 25 （ D） 13? 點(diǎn)撥 ：利用雙曲線(xiàn)的定義及直角三角形面積的兩種表示形式，建立方程組再求解 . 解：連 AF1，則 △ AF1F2 為直角三角形，且斜邊 F1F2 之長(zhǎng)為 2c. 令 1 1 2 2,.A F r A F r==由直角三角形性質(zhì)知： 2 1 2 1 212 , 22r r a r c r r? ? ? ? ，∴ 12,2r c r a c? ? ?. ∵ 2 2 2124,r r c?? ? ?2 2224a c c c? ? ? ?， ∴ 222 2 0a ac c? ? ?， ∴ 2 2 2 0ee? ? ? .∵ e﹥ 1， ∴ 取 31e=+.故選 D. 注：本題若求出點(diǎn) A 的坐 標(biāo) 3,22cAc???????，再代入雙曲線(xiàn)方程也可求出 . 圖 6 4 1?? 我的宗旨：授人以漁 1294383109 歡迎互相交流 訪(fǎng)問(wèn)我的空間 易錯(cuò)點(diǎn)： （ 1）正確應(yīng)用相應(yīng)曲線(xiàn)的定義至關(guān)重要，否則解題思路受阻 .（ 2）由直角三角形面積的兩種表示形式得出關(guān)系式2 1 21 22 r c rr??是值得注意的問(wèn)題 . 變式與引申 2224 byx ? =1(b∈ ?N )的兩個(gè)焦點(diǎn) F F2， P為雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)， |OP|＜ 5， |PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比數(shù)列，則 b2=_________. 題型三 圓錐曲線(xiàn)的幾何性質(zhì) 例 如圖 642?? 所示，從橢圓 2222 1( 0 )xy abay? ? ? ?上一點(diǎn) M 向 x 軸作垂線(xiàn)，恰好通過(guò)橢圓的左焦點(diǎn) 1F ，且它的長(zhǎng)軸端點(diǎn) A 及短軸端點(diǎn) B 的連線(xiàn) //AB OM （ 1）、求橢圓的離心率 e ； （ 2）、設(shè) Q 是橢圓上任意一點(diǎn)， 2F 是右焦點(diǎn)， 1F 是左焦點(diǎn)，求 12FQF? 的取值范圍； （ 3）、設(shè) Q 是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng) 2QF AB? 時(shí)，延長(zhǎng) 2QF 與橢圓交于一點(diǎn) P，若 1FPQ?的面積為 203 ，求此時(shí)橢圓的方程 . 點(diǎn)撥：從 //OM AB 著手，尋找 a 、 c 的關(guān)系，最后求得離心率 e ；在焦點(diǎn)三角形中，用余弦定理，求得 12cos FQF? 的范圍，從而求得 12FQF? 的范圍；則 PQ 與橢圓相交，求得弦 PQ 的長(zhǎng)和點(diǎn) 1F 到 PQ 的距離，由1 20 3F PQS? ?的條件求得橢圓方程中的 a 、 b ，從而求得方程 . 解：（ 1） 1MF x? 軸 ,Mxc? ?? 代入橢圓方程 22 1( 0 )xy abab? ? ? ? 得 2M by a?， 2OM bK ac? ??. 又AB bK a??且 //OM AB ， 2bbac a?? ?? ， 故 bc? 從而 22e? cFFarrQFFrQFrQF 2,2, 2121212211 ??????? ?設(shè) 2 2 2 2 2 221 2 1 2 1 22121 2 1 2 1 24 ( ) 2 4c os 1 1 022 () 2r r c r r r r c bb rrr r r r r r?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??當(dāng)且僅B M O 1F Q P A x y 2F 圖 642?? 我的宗旨：授人以漁 1294383109 歡迎互相交流 訪(fǎng)問(wèn)我的空間 當(dāng) 12rr? 時(shí)，上式成立 . 0 cos 1?? ? ? 故 0,2?? ???????. （ 3） , 2 ,b c a c?? ?設(shè)橢圓方程為 2212xycc?? 2, , 2 ,2A B P QP Q A B K K? ? ? ? ??直線(xiàn) PQ 的方程為 2( ),y x c??代入橢圓方程，得 225 8 2 0,x cx c? ? ? 228 4 2 6) ( ) ( 1 2) 25 5 5cPQ c c?????? ? ? ? ?????????. 又點(diǎn) 1F 到 PQ 的距離 26,3dc?121 1 2 6 6 2 4 3 ,2 2 3 5 5F P QS d P Q c c c?? ? ? ? ? ? 由 243 20 3,5 c ? 得 2 25,c ? 故 22 50c ? .?所求橢圓方 程為 22150 25xy??. （注：此問(wèn)亦可用1 1212pF P Q QS F F y y? ??求得） 點(diǎn)評(píng)：本例中第（ 1）問(wèn)是課本題，第（ 2）（ 3）問(wèn)是該題的引申，像這種源與課本，又有拓寬引申的題常常是高考試題的來(lái)源之一，應(yīng)引起大家的重視，注意掌握好這一類(lèi)問(wèn)題 . 變式與引申 y2＝ 2px（ p0）的準(zhǔn)線(xiàn)與圓（ x－ 3） 2＋ y2＝ 16相切，則 p的值為 （ ） 題型四 直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系 【 例 4】設(shè) O 為拋 物線(xiàn)的頂點(diǎn)， F 為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)且 PQ為過(guò)焦點(diǎn)的弦，若 |OF|=a， |PQ|=b，求 △ OPQ 的面積 . 點(diǎn)撥：結(jié)合拋物線(xiàn)方程的特點(diǎn)，可設(shè)方程為 y2=4ax（ a0）， F（ a， 0），再運(yùn)用拋物線(xiàn)的定義，找出 P 、 Q 兩點(diǎn)橫坐標(biāo) 1x 、 2x 關(guān)系，最后設(shè)過(guò)方程的直線(xiàn)為( ),y k x a?? （ 還要注意斜率 k 存在與否的討論）由21222121 2 yyyyyy ???? 求解即可 . 解： 如圖 8 所示，由題意知拋物線(xiàn)的方程為 ? ?042 ?? aaxy ， F? ?,0,a 設(shè) ? ? ? ?, 221,1 yxQyxP ，由拋物線(xiàn)的定義知： QFPFPQ ?? baxxaxax ???????? 22121 所以 abxx 221 ??? 由 abayayaxy 244:4 22212 ???? 得 故 ? ?abayy 242221 ??? 設(shè)過(guò) F 的弦的斜率為 k，則其方程為 ( ),y k x a?? 將其與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立知： ky2－ 4ay－ 4a2k=0 2221 44 ak kayy ????故 我的宗旨：授人以漁 1294383109 歡迎互相交流 訪(fǎng)問(wèn)我的空間 若斜率不存在，則其兩個(gè)交點(diǎn)為（ a， 2a）與（ a，－ 2a），同樣有 221 4ayy ?? 那么 ? ? ? ? abaabayyyyyy 242242 221222121 ????????? 因此： abayyOFSopq ????? 1221 易錯(cuò)：（ 1）不會(huì)使用焦半徑公式而導(dǎo)致運(yùn)算復(fù)雜；（ 2）直接設(shè)過(guò) F 的弦的斜率為 k，則其方程為 ( ),y k x a??后面沒(méi)有對(duì)斜率 k 是否存在進(jìn)行討論 . 變式與引申 4．（ 2020 年高考四川卷我的宗旨：授人以漁 1294383109 歡迎互相交流 訪(fǎng)問(wèn)我的空間 第六講 解析幾何 (文 ) 第一節(jié) 曲線(xiàn)與方程 曲線(xiàn)與方程是解析幾何的基本概念 ,在近年的高考試題中 ,重點(diǎn)考查曲線(xiàn)與方程的關(guān)系 ,考查曲線(xiàn)方程的探求方法 ,多以綜合解答題的第 ⑴ 小問(wèn)的形式出現(xiàn) ,就這部分考題來(lái)說(shuō) ,屬于中檔題 ,難度值一般在 ~ 之間 . 考試要求 ⑴ 了解方程的曲線(xiàn)與曲線(xiàn)的方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系 . ⑵ 掌握一般曲線(xiàn) (點(diǎn)的軌跡 )方程的