【正文】 . 變式與引申 2： （ 1）解關(guān)于 x 的不等式： 2 10ax x a? ? ? ?. （ 2）設(shè) k 為實常數(shù)，問方程 )4()8()4()8( 22 ??????? kkykxk 表示的曲線是何種曲線？ 題型三 由自變量引起的分類討論 例 2( 1) 1a x x? ? ?在 ( 2,1)x?? 內(nèi)恒成立，求實數(shù) a 的取值范圍 . 點撥： 該題是恒成立問題，其實就是求最值問題，由于 ( 2,1)x?? ， 1x? 的符號不確定，因此在參變量分離時應(yīng)對 x 范圍進(jìn)行分類討論 . 解： 令 2 1() 1xfx x ?? ? ，則 2( 1 ) 2 ( 1 ) 2 2( ) ( 1 ) 211xxf x xxx? ? ? ?? ? ? ? ??? （ 1）當(dāng) 11x? ? ? 時， 0 1 2x? ? ? ，則 ()a f x? ， 而此時 ( ) 2 2 2fx??，∴2 2 2a??； （ 2）當(dāng) 21x? ? ?? 時， 1 1 0x? ? ? ? ，則 ()a f x? ， 而此時 ( ) 5fx?? ，∴ 5a?? ； （ 3）當(dāng) 1x?? 時，原不等式化為 02? 恒成立 . 綜上所述， a 的取值范圍是 [ 5,2 2 2)??. 易錯點： （ 1）該題在參變量分離時經(jīng)常會不考慮自變量 x 的取值范圍，直接化為 2 11xa x?? ? ，求得 2 2 2a??；（ 2）在分類討論后，往往沒有把最后結(jié)果取交集 .審題時一定要分清討我的宗旨：授人以漁 1294383109 歡迎互相交流 訪問我的空間 論的目標(biāo)是自變量還是參數(shù)，當(dāng)討論自變量時結(jié)果取交集，當(dāng)討論參數(shù)時注意分情況寫出 . 變式與引申 3： （ 1）設(shè) ()fx ( 1 )232 ( 2 )lo g ( 1) ( 2 )xexxx?? ???????＝,則不等式 ( ) 2fx? 的解集為（ ） A.(1,2) (3, )?? B.( 10, )?? C.(1, 2) ( 10 , )?? D.(1,2) （ 2）已知 x 是不為零的實數(shù) ， *nN? ,則 2323 nx x x n x? ? ? ? ? ? ? ? . 題型四 由運(yùn)算引起的分類討論 例 ? ?32( ) 3 ( 3 6 ) + 1 2 4f x x a x a x a a R? ? ? ? ? ? (Ⅰ )證明：曲線 ( ) 0y f x x??在 處 的 切 線 過 點 （ 2 ， 2 ） ； （Ⅱ）若 00()f x x x x??在 處 取 得 最 小 值 ， （ 1 ， 3 ） ，求 a 的取值范圍 . 點撥 :第 (I)問直接利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線的斜率 ，然后易寫出直接方程 . (II)第（ II）問是含參問題，關(guān)鍵是抓住方程 ( ) 0fx? ? 的判別式進(jìn)行分類討論 . 解：（ I） 2( ) 3 6 3 6f x x ax a? ? ? ? ?. 由 ( 0) 12 4 , ( 0) 3 6f a f a?? ? ? ?得曲線 ()y f x? 在 x=0處的切線方程為 (3 6 ) 12 4y a x a? ? ? ? 由此知曲線 ()y f x? 在 x=0處的切線過點（ 2， 2） . （ II）由 ( ) 0fx? ? 得 2 2 1 2 0x ax a? ? ? ? （ i） 當(dāng) 2 1 2 1a? ? ? ? ?時， ()fx沒有極小值； (ii)當(dāng) 21a??或 21a?? ? 時，由 ( ) 0fx? ? 得 22122 1 , 2 1x a a a x a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 故 02xx? 。 (i)設(shè) 0k? ，由 222( 1 ) ( 1 )39。(1) ,2ff???? ????即 1, 1,22ba b???? ? ???? 解得 1a? ， 1b? 。 （Ⅰ）求 a 、 b 的值； （Ⅱ）如果當(dāng) 0x? ，且 1x? 時， ln()1xkfx xx???，求 k 的取值范圍。且與該港口相距 20海里的 A 處，并正以 30海里 /小時的航行速度沿正東方向勻速行駛 .假設(shè)該小艇沿直線方向以 v 海里 /小時的航行速度勻速行駛，經(jīng)過 t 小時與輪船相遇 . (1)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？ (2)為保證小艇在 30 分鐘內(nèi) (含 30 分鐘 )能與輪船相遇，試確定小艇航行速度的最小值； (3)是否存在 v ，使得小艇以 v 海里 /小時的航行速度行駛，總能有兩種不同的航行方向與輪船相遇？若存在，試確定 v 的取值范圍；若不存在，請說明理由 . 點撥： (1)首先把 S 表示為 t 的函數(shù)，再利用函數(shù)的性質(zhì)求最小值 . (2)把 v 表示為 t 的函數(shù)，再利用函數(shù)的性質(zhì)求最小值 . (3)把 v 表示為 t 的函數(shù) ,由總能有兩種不同的航行方向與輪船相遇 , 把函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根的分布問題再去求解 . 解 ：（ 1）方法一：設(shè)相遇時小艇的航行距離為 S 海里，如圖 82，則 2 0 09 0 0 4 0 0 2 3 0 2 0 c o s( 9 0 3 0 )S t t? ? ? ? ? ? ? T N A B M x y C O O 北 南 東 西 A 20 30t S 030 B C 圖 82 我的宗旨：授人以漁 1294383109 歡迎互相交流 訪問我的空間 29 0 0 6 0 0 4 0 0tt? ? ? 219 0 0 ( ) 3 0 03t? ? ? 故當(dāng) 13t?時，m in10 310 3 , 30 313Sv? ? ? 即小艇以 303 海里 /小時的速度航行，相遇時小艇的航行距離最小 . 方法二：若相遇時小艇的航行距離最小，又輪船沿正東方向勻速行駛，則小艇航行方向為正北方向 . 設(shè)小艇與輪船在 C 處相遇 .在 Rt OAC? 中， 02 0 c o s 3 0 1 0 3OC ?? 30 ,AC t O C vt?? 此時，輪船航行時間 1 0 3131 0 1 , 3 0 33 0 3tv? ? ? ? 即小艇以 303 海里 /小時的速度航行，相遇時小艇的航行距離最小 . （ 2 ） 設(shè) 小 艇 與 輪 船 在 B 處 相 遇 由 題 意 可 得 ：2 2 0 0( ) 900 400 2 30 20 c os( 90 30 )v t t t? ? ? ? ? ? ? 化簡得 : 2224 0 0 6 0 0 1 39 0 0 4 0 0 ( ) 6 7 54v t t t? ? ? ? ? ? 由于 10 2t?? ，即 1 2t? ， 所以當(dāng) 1 2t? 時， v 取得最小值 1013 . 即小艇航行速度的最小值 1013 海里 /小時 . （ 3 ）由（ 2 ）知 224 0 0 6 0 0900v tt? ? ?，設(shè) 1 ( 0)uut ?? 于是2240 0 60 0 90 0 0 ( * )u u v? ? ? ? 小艇總能有兩種不同的航行方向與輪船相遇，等價于方程 (*) 應(yīng)有兩個不等正根，即： 2226 0 0 1 6 0 0 ( 9 0 0 ) 09 0 0 0 vv? ? ? ?? ???，解得 15 3 30v?? 所以 v 的取值范圍是 (15 3,30) 易錯點 ：（ 1 ） 不 能 建 立 正 確 的 函 數(shù) 關(guān) 系 290 0 60 0 40 0S t t? ? ?以及2 24 0 0 6 0 0900v tt? ? ?； （ 2）對一元二次方程的根的分布不能做出正確判斷 . 變式與引申 4： （ 2020年湖北理科第 17題）為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層 .某幢建筑物要建造可使用 20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為 6萬元 .該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用 C （單位：萬元）與隔熱層厚度 x （單位： cm ）滿足關(guān)系： ( ) (0 1 0 )35kC x xx? ? ??，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為 8 萬我的宗旨：授人以漁 1294383109 歡迎互相交流 訪問我的空間 元 .設(shè) ()fx為隔熱層建造費(fèi)用與 20 年的能源消耗費(fèi)用之和 . 本節(jié)主要考查： （ 1）本節(jié)考查的 是函數(shù)與方程的 思想方法； （ 2）主觀題即選擇題和填空題考查函數(shù)與方程思想的基本運(yùn)算，解答題中，則是更深層次地在知識網(wǎng)絡(luò)的交匯處、從思想方法與相關(guān)能力相綜合的角度進(jìn)行深入考查 . 點 評： ，是用運(yùn)動和變化的觀點，分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，從而使問題獲得解決 .函數(shù)思想是對函數(shù)概念的本質(zhì)認(rèn)識，用于指導(dǎo)解題就是善于利用函數(shù)知識或函數(shù)觀點觀察、分析和解決問題 . ，就是分析數(shù)學(xué)問題中變量間的等量關(guān)系，建立方程或方程組，或者構(gòu)造方程，通過解方程或方程組，或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題獲得解決 .方程思想是對方程概 念的本質(zhì)認(rèn)識，用于指導(dǎo)解題就是善于利用方程或方程組的觀點觀察處理問題 .方程思想是動中求靜，研究運(yùn)動中的等量關(guān)系 . 3.(1) 函數(shù)和方程是密切相關(guān)的，對于函數(shù) ()y f x? ，當(dāng) 0y? 時，就轉(zhuǎn)化為方程( ) 0fx? ，也可以把函數(shù)式 ()y f x? 看做二元方程 ( ) 0y f x??.函數(shù)問題（例如求函數(shù)的值域等）可以 轉(zhuǎn)化為方程問題來求解，方程問題也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來求解，如解方程( ) 0fx? ，就是求函數(shù) ()y f x? 的零點 . (2) 函數(shù)與不等式也可以相互轉(zhuǎn)化，對于函數(shù) ()y f x? ，當(dāng) 0y? 時，就轉(zhuǎn)化為不等式( ) 0fx? ，借助于函數(shù)圖象與性質(zhì)解決有關(guān)問題，而研究函數(shù)的性質(zhì)，也離不開解不等式 . (3) 數(shù)列的 通項或前 n 項和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀點處理數(shù)列問題十分重要 . (4) 函數(shù) nbaxxf )()( ?? （ *nN? ）與二項式定理是密切相關(guān)的，利用這個函數(shù)用賦值法和比較系數(shù)法可以解決很多二項式定理的問題 . (5) 解析幾何中的許多問題，例如直線和二次曲線的位置關(guān)系問題，需要通過解二元方程組才能解決，涉及到二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論 . (6) 立體幾何中有關(guān)線段、角、面積、體積的計算 ，經(jīng)常需要運(yùn)用列方程或建立函數(shù)表達(dá)式的方法加以解決 . 習(xí)題 81 ()fx是周期為 2的奇函數(shù)，當(dāng) 0≤ x≤ 1時， ()fx=2 (1 )xx? ，則 5()2f ? = (A) 12 (B) 1 4? (C)14 (D)12 1()f x xx??,對任意 [1 , ) , ( ) ( ) 0x f m x m f x? ?? ? ?恒成立，則 實數(shù) m 的取值范圍是 ________. 3． 設(shè) nS 為數(shù)列 {}na 的前 n 項和， 2nS kn n??， *nN? ，其中 k 是常數(shù)． （ 1） 求 1a 及 na ； （ 2）若對于任意的 *mN? ， ma ， 2ma ， 4ma 成等比數(shù)列，求 k 的值 . 4. 已知函數(shù) ( ) | lg |f x x? .若 0 ab??,且 ( ) ( )f a f b? ,求 2ab? 的取值范圍 . 我的宗旨：授人以漁 1294383109 歡迎互相交流 訪問我的空間 1F ， 2F 分別為橢圓 22:1xyCab??( 0)ab??的左、右焦點，過 2F 的直線 l 與橢圓 C相交于 A ,B 兩點，直線 l 的傾斜角為 60 ， 1F 到直線 l 的距離為 23. （ 1）求橢圓 C的焦距； （ 2）如果 222AF F B? ,求橢圓 C的方程 . 第二節(jié) 運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題的策略 數(shù)形結(jié)合思想通過“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化 ,能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，它是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合 .運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計算與推理，大大簡化了解題 過程 .這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越 . 考試大綱的說明中強(qiáng)調(diào)：“在高考中，充分利用選擇題和填空題的題型特點，為考查數(shù)形結(jié)合的思想提供了方便，能突出考查考生將復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為直觀的幾何圖形問題來解決的意識，而在解答題中，考慮到推理論證的嚴(yán)密性，對數(shù)量關(guān)系問題的研究仍突出代數(shù)的方法而不提倡使用幾何的方法，解答題中對數(shù)形結(jié)合思想的考查以由‘形’到‘?dāng)?shù)’的轉(zhuǎn)化為主 .” 考試要求 展望 2020年 高考考查數(shù)形結(jié)合思法，可能會與以下內(nèi)容為載體來命題：①函數(shù)與圖象的對應(yīng)關(guān)系；②曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系；③以幾何元素和幾 何條件為背景建立起來的概念，如三角函數(shù)等；④所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義 . 題型一 數(shù)形結(jié)合在函數(shù)與方程中的應(yīng)用 例 0a? 且 1a? ,試求使方程 )(log akxa ?2 22log ( )a xa??有解的實數(shù) k 的取