【正文】 x ??? 又 22)( 2121 ???? xxkyy 而A ),1,2(),1,0(),0,2( ??BAB ?所以 QOPO ??? 與 BA? 共線等價于)(2 2121 yyxx ???? 解得 ,22?k 由 (1)知 .2222 ??? kk 或 矛盾 ,故沒有符合題意的 常數(shù) k . 易錯點 : 忽視 k 的取值 范圍導致錯誤 . 變式與引申 )0,0(12222 ???? babyax 的右焦點為 F,若過點 F 且傾斜角為 060 的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點 ,則此雙曲線離心率是 ( ) A． (1,2] B． )2,1( C． [2， +∞) D． ),2( ?? 題型二 直線與圓錐曲線的弦長問題 例 2 如圖，直線 y kx b??與橢圓 2 2 14x y??交于 A、 B 兩點，記 AOB? 的面積為 S . （ 1）求在 0k? ， 01b??的條件下， S 的最大值； 我的宗旨：授人以漁 1294383109 歡迎互相交流 訪問我的空間 （ 2）當 | | 2, 1AB S??時，求直線 AB 的方程 . 點撥 :(1)聯(lián)立方程組解出 A、 B 兩點的坐標 ,求出 ABO? 的面積 ,再利用均值不等式求解 .(2)根據(jù)已知列方程組 ,求出 k,b. 解（ 1）：設點 A 的坐標為 1()xb， ，點 B 的坐標為 2()xb， ，由 2 2 14x b??，解得212 21xb?? ?， ，所以 2121 xxbS ?? = 212 bb ? 2211bb? ? ?≤ ． 當且僅當 22b? 時， S 取到最大值 1． （ 2）：由?????????14 22 yxbkxy 得2 2 21 2 1 04k x k b x b??? ? ? ? ????? ， 2241kb? ? ? ? ， 2 11| | 1 | |A B k x x? ? ? 2222411214kbkk??? ? ?? ………… ② 設 O 到 AB 的距離為 d ，則 2 1||Sd AB??，又因為2||1bd k? ? ， 所以 221bk??，代入 ② 式并整理，得 421 04kk? ? ? ， 解得 2 12k ? ， 2 32b? ，代入 ① 式檢驗， 0?? ，故直線 AB 的方程是 2622yx??或 2622yx??或 2622yx? ? ? ，或 2622yx? ? ? 易錯點： （ 1）忘記均值不等式的應用導致寸步難行 .（ 2）忘記弦長公式與點到直線的距離公式導致出錯 . 變式與引申 122 ??byax 與直線 01??? yx 相交于 A ﹑ B 兩點，點 C 是 AB 的中點，若,22?AB OC 的斜率為 ,22 求橢圓的方程 . 題型三 直線與圓錐曲線中點弦的問題 例 3 已知雙曲線的方程為 .1322 ?? yx 我的宗旨：授人以漁 1294383109 歡迎互相交流 訪問我的空間 （ 1）求以 A（ 2， 1）為中點的弦 所在直線的方程； （ 2）以點 B（ 1， 1）為中點的 弦是否存在？若存在，求出弦 所在直線的方程；若不存在，請說明理由 . 點撥 :（ 1）利用設而不求法和點差法構建方程，結合直線的斜率公式與中點坐標公式求出斜率 .也可設 點斜式方程 ,與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達定理與中點坐標公式求出斜率 k. (2)仿照（ 1）求出方程，但要驗證直線與雙曲線是否有交點 . 解 ：（ 1）設 ),(),( 222211 yxPyxP 是 弦的兩個端點，則有 .13,13 22222121 ???? yxyx 兩式相減得 .03 ))(())(( 21212121 ?????? yyyyxxxx ① ∵ A（ 2， 1）為弦 21PP 的中點， ∴ 2,4 2121 ???? yyxx ， 代入 ① 得 .3 )(2)(4 2121 yyxx ??? ∴ 621 ?ppk . 故直線 21P 的 方 程 為0116),2(61 ?????? yxxy 即 （ 2）假設滿足條件的直線存在，同（ 1）可求 .023 ??? yx 由????? ?????0231322yxyx 得 .07126 2 ??? xx ∵△ = ,076412 2 ???? ∴ 所求直線與 雙曲線無交點 . ∴ 以 B(1,1)為中點的弦不存在 . 易錯點 ：存在性問題的結果通常是難以預料的，求時通?？汕蟮?，但不是充要條件，因此學生容易忽視 . 變式與引申 雙曲線中心在原點且一個焦點為 F )0,7( ， 直線 1??xy 與其相交于 M， N 兩點，MN 中點的橫坐標為 32? ，則此 雙曲線的方程是 （ ） A． 143 22 ?? yx B． 134 22 ?? yx C． 125 22 ?? yx D． 152 22 ?? yx 題型四 有關對稱問題 我的宗旨：授人以漁 1294383109 歡迎互相交流 訪問我的空間 例 4 橢圓 C： )0(12222 ???? babyax 的兩個焦點 21,FF ,點 P 在橢圓 C 上，且.314,34, 2121 ??? PFPFPFPF (1) 求橢圓 C 的方程 ； (2) 若直線 l 過圓 02422 ???? yxyx 的圓心 M，交橢圓 C 于 A， B 兩點，且 A,B 關于點M 對稱，求直線 l 的方程 . 點撥： （ 1）抓住定義，點 P 到兩焦點的距離之和為 2a，可求 a，利用勾股定理可求 c. （ 2） 利用 “設而不求 ”法求解 . 解 ：（ 1）因為點 P 在橢圓 C 上，所以 62 21 ??? PFPFa 即 3?a 在 5221222121 ???? PFPFFFFPFRt 中， ， 故橢圓的半焦距 c = 5 ， 從而 4222 ??? cab 所以橢圓 C 的方程為 149 22 ?? yx . （ 2 ）法 一： 已知 圓的 方程 為 ? ? ? ? 512 22 ???? yx 所 以圓 心 ? ?1,2?M ，設? ? ? ?., 2211 yxByxA 8 由題意得 21 xx ? 149 2121 ?? yx且 149 2222 ?? yx 得 ? ?? ? ? ?? ? 049 21212121 ?????? yyyyxxxx ○1 因為 A,B 關于點 M 對稱，所以 2,4 2121 ????? yyxx 代人 ○1得9821 21 ???xx yy 即直線 L的斜率為 98 ，所以直線 L 的方程為 ? ? 即,2981 ??? xy 02598 ??? yx （經(jīng)檢驗，所求直線方程符合題意） 法 二： 設 ? ? ? ?., 2211 yxByxA 已 知圓 的方 程為 ? ? ? ? 512 22 ???? yx 所 以圓 心? ?1,2?M . 從 而 可 設 直 線 L 的方程為 ? ? 12 ??? xky 代入橢圓 C 方 程 得? ? ? ? 0273636183694 2222 ??????? kkxkkxk 因為 A,B 關于點 M 對稱，所以98,294 9182 2221 ???? ???? kk kkxx 解得，所以直線 L 的方程為 02598 ??? yx （經(jīng)檢驗，所求直線方程符合題意） 我的宗旨：授人以漁 1294383109 歡迎互相交流 訪問我的空間 易錯點： 單獨求解 A,B 兩點運算量很大，容易出錯 .采用 “設而不求 ”簡單方便 . 變式與引申 4. 在平面直角坐標系 xOy 中，過定點 ? ?pC ,0 作直線與拋物線 ? ?022 ?? ppyx 相交于BA, 兩點 . (1)若點 N 是點 C 關于坐標原點 O 的對稱點，求 ANB? 面積的最小值； (2)是否存在垂直于 y 軸的直線 l ，使得 l 被以 AC 為直徑的圓截得的弦長恒為定值？ 若存在，求出 l 的方程；若不存在，說明理由 . 本節(jié)主要考查： 1. ? ? 0,0 ???? yxfCCByAxL ：與圓錐曲線：直線 的位置 關系可分為，相交，相離，相切 .對于拋物線來說，平行于對稱軸的直線與拋物 線相交于一點，但并不是相切；對于雙曲線來說，平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個交點，但不相切 .有一個公共點是直線與拋物線，雙曲線相切的必要條件，但不是充 分條件 . ，實際上是研究它們的方程組成的方程組是否有實數(shù)解或實數(shù)解的個數(shù)問題，此時要注意用好分類討論和數(shù)形結合的思想方法 . 點評： 當直線與圓錐曲線相交時：涉及弦長問題，常用 “韋達定理法 ”設而不求來計算弦長（即應用弦長公式）；涉及弦長的中點問題，常用 “點差法 ”設而不求，將弦所在直線的斜率，弦的中點坐標聯(lián)系起來，相互轉化 .同時還應充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關系靈活轉化，往往能事半功倍 . 習題 63 1. 設雙曲線 12222 ??byax 的一條漸近線與拋物線 y=x2 +1 只 有一個公共點，則雙曲線的離心率為 ( ). A. 45 B. 5 C. 25 D. 5 2. 已知 P (1,1)為橢圓 124 22 ?? yx 內一定點，經(jīng)過 P 引一弦，使此弦在 P （ 1， 1）點被平分，此弦所在的直線方程 . 3．直線 L： y=kx+1,拋物線 C: xy 42 ? ，當 k 為何值時 L 與 C 有：（ 1）一個公共點；（ 2）兩個公共點；（ 3）沒有公共點 . 4. 直線 y=kx+1 與雙曲線 3x2y2=1 相交于 A、 B 兩點 （ 1）當 k 為何值時， A、 B 兩點在雙曲線的同一支上； （ 2）當 k 為何值時， A、 B 兩點在雙曲線的兩支上； B A C O N x 圖 632?? 我的宗旨：授人以漁 1294383109 歡迎互相交流 訪問我的空間 （ 3）當 k 為何值時，以 A、 B 為直徑的圓過坐標原點 . 5．（ 2020 年高考重慶卷 我的宗旨：授人以漁 1294383109 歡迎互相交流 訪問我的空間 第六講 解析幾何 (文科 )參考答案 第一節(jié) 曲線與方程 變式與引申 1. B 提示： 由 0xy? ,結合選項知選 B. 2. A 提示： 由題意 00( , ) 0f x y ? ,又 0 0 0 0( , ) ( , ) 0f x y f x y??,∴ 直線 ( , ) 0f x y ? 與直線 00( , ) ( , ) 0f x y f x y??平行 ,且點 P 在直線 00( , ) ( , ) 0f x y f x y??上 ,選 A. 3. 解： 設 ( , )Nxy , ( ,0)Ma , (0, )Pb,則 ( , )MN x a y?? , ( , )NP x b y? ? ? .由 25MN NP?, 得 25( , ) ( , )x a y x b y? ? ? ?,∴ 25x a x? ??, 25()y b y??, 即 75ax?, 72by?. 又22| | 7abMP ???, ∴ 227752( ) ( ) 49xy??,即 2225 4 1xy??,故動點 N 的軌跡方程為 2225 4 1xy??. 4. 解： ⑴ 由 33e?得 22 23ba ?, 又 2 211b ???,∴ 2 2b? , 2 3a? , 故橢圓 C 的方程為22321xy??. ⑵ 由 ⑴ 知 1( 1,0)F? , 2(1,0)F ,由題意可設 (1, )( 0)P t t ? ,則線段 1PF 的中點為2(0, )tN. 設 ( , )Mxy 是所求軌跡上的任意一點 ,由于2( , )tMN x y? ? ?, 1 ( 2, )PF t? ? ? ,則 1 22 ( ) 0tM N P F x t yyt? ? ? ? ? ??? ??? ,消去參數(shù) t 得 2 4 ( 0)y x x?? ? ,故所求點 M 的軌跡方程為2 4 ( 0)y x x?? ? ,其軌跡為頂點在原點、開口向左、焦點為 ( 1,0)? 的拋物線 (除去原點 ). 5. 解： ⑴ 設曲線方程為 2y ax b??,將點 647(0, )M, (8,0)D 代入曲線方程 , 得 6470 64bab? ???