【正文】 高中數(shù)學(xué) 精講精練 第六章 不等式 【 知識 圖解】 【 方 法點撥 】 不等式是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，不等式的性質(zhì)是解 、 證不等式的基礎(chǔ)，兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理及其變形在不等式的證明和解決有關(guān)不等式的實際問題中發(fā)揮著重要的作用 .解不等式是研究方程和函數(shù)的重要工具，不等式的概念和性質(zhì)涉及到求最大（小）值，比較大小，求參數(shù)的取值范圍等，不等式的解法包括解不等式和求參數(shù) ，不等式的綜合題主要是不等式與集合、函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、解析幾何、導(dǎo)數(shù)等知識的綜合，綜合性強，難度較大，是高考命題的熱點，也是高考復(fù)習(xí)的難點 . 1. 掌握用基本不等式求解最值問題，能用基本不等式證明簡單的不等式，利用基本不等式求最值時一定要緊扣“一正、二定、三相等”這三個條件。 2. 一元二次不等式是一類重要的不等式，要掌握一元二次不等式的解法，了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系和相互轉(zhuǎn)化。 3. 線性規(guī)劃問題有著豐富的實際背景，且作為最優(yōu)化方法之一又與人們?nèi)粘Ｉ蠲芮邢嚓P(guān)，對于這部分內(nèi)容應(yīng)能用平面區(qū)域表示二元一次不 等式組，能解決簡單的線性規(guī)劃問題。同時注意數(shù)形結(jié)合的思想在線性規(guī)劃中的運用。 第 1 課 基本不等式 不等式 一元二次不等式 基本不等式 二元一次不等式組 應(yīng)用 解法 應(yīng)用 幾何意義 應(yīng)用 證明 【考點 導(dǎo)讀 】 1. 能用基本不等式證明其他的不等式，能用基本不等式求解簡單的最值問題。 2. 能用基本不等式解決綜合形較強的問題。 【基礎(chǔ) 練習(xí) 】 1.“ ab0”是 “ ab 222ab? ” 的 充分而不必要條件 (填寫 充分而不必要條件 、 必要而不充分條件 、 充分必要條件 、 既不充分也不必要條件 ) 2. cabcabaccbba ???????? 則,2,2,1 222222 的最小值為 1 32? ,xy R?? ，且 41xy??，則 xy? 的最大值為 161 lg lg 1xy??，則 52xy?的最小值是 2 【 范例導(dǎo)析 】 例 54x? ，求函數(shù) 142 45yx x? ? ? ?的最大值 . 分析：由于 4 5 0x?? ，所以首先要調(diào)整符號 . 解：∵ 54x? ∴ 5 4 0x?? ∴ y=4x2+ 145x? = 15 4 354x x??? ? ? ??????≤ 2+3=1 當(dāng)且僅當(dāng) 154 54x x??? ，即 x=1時，上式成立，故當(dāng) x=1時， max 1y ? . 例 2.（ 1） 已知 a， b為正常數(shù)， x、 y 為正實數(shù)，且 1ab+=xy，求 x+y 的最小值。 （ 2） 已知 00 ?? yx ， ，且 302 ??? xyyx ，求 xy 的最大值． 分析：問題（ 1）可以采用常數(shù)代換的方法也可以進行變量代換從而轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)再利用基本不等式求解；問題（ 2）既可以直接利用基本不等式將題目中的等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于 xy 的不等式，也可以采用變量代換轉(zhuǎn)換為一元函數(shù)再求解 . 解 :(1)法一：直接利用基本不等式： a b b x a yx + y = (x + y )( + ) = a + b + +x y y x≥ +b+2 ab 當(dāng)且僅當(dāng)ay bx=xyab+ =1xy???????，即 x=a+ aby=b+ ab?????時等號成立 法二： 由 ab+ =1xy得 ayx=yb a y a ( y b ) a bx y y yy b y ba b a ba y ( y b ) a by b y b??? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ???? ∵ x0， y0， a0 ∴ 由 ayyb0得 yb0 ∴ x+y≥2 ab+a+b 當(dāng)且僅當(dāng)ab = ybybab+ =1xy???????，即 y=b+ abx=a+ ab?????時，等號成立 （ 2） 法一 ： 由 302 ??? xyyx ，可得， )300(230 ????? xxxy 　 ． x xxxxxxy ? ????????? 2 64)2(34)2(230 22 ?????? ????? 264)2(34 xx 注意到 16264)2(2264)2( ???????? xxxx．可得， 18?xy ． 當(dāng)且僅當(dāng) 2642 ??? xx ，即 6?x 時等號成立，代入 302 ??? xyyx 中得 3?y ，故 xy的最大值為 18． 法二 ： ??Ryx,? ， xyxyyx ????? 22222 ， 代入 302 ??? xyyx 中得： 3022 ??? xyxy 解此不等式得 180 ??xy ．下面解法見解法一，下略． 點撥： 求 條件最值的問題，基本思想是借助條件化二元函數(shù)為一元函數(shù)，代入法是最基本的方法，也可考慮通過變形直接利用基本不等式解決 . 【反饋練習(xí)】 a＞ 1,且 2l o g ( 1 ) , l o g ( 1 ) , l o g ( 2 )a a am a n a p a? ? ? ? ?,則 pnm, 的大小關(guān)系為 m＞ p＞ n 下列 四個結(jié)論： ① 若 , Rba ? 則 22 ????baabbaab； ② 若 ??Ryx, ,則 yxyx lglg2lglg ?? ； ③ 若 ,??Rx 則 4424 ??????xxxx； ④ 若 ,??Rx 則 222222 ???? ?? xxxx 。 其中正確的是 ④ 1( )( ) 9axyxy? ? ?對任意正實數(shù) ,xy恒成立，則正實數(shù) a 的最小值為 6 4.（ 1） 已知： 0??xy ，且： 1?xy ，求證： 2222 ??? yx yx，并且求等號成立的條件． （ 2） 設(shè)實數(shù) x， y 滿足 y+x2=0， 0a1，求證： ? ?xyalog a +a≤ 1log 28?a。 解： （ 1）分析： 由已知條件 ??Ryx， ，可以考慮使用均值不等式，但所求證的式子中有 yx? ，無法利用 xyyx 2?? ，故猜想先將所求證的式子進行變形，看能否出現(xiàn))( 1)( yxyx ???型，再行論證． 證明： ,0 ?????? xyyxyx ?? 又 yx xyyxyx yx ? ?????? 2)(222yxyx ???? )( .22)( 2)(2 ????? yxyx等號成立 當(dāng)且僅當(dāng))( 2)( yxyx ???時． .4,2,2)( 222 ??????? yxyxyx ,6)(,1 2 ???? yxxy? .6??? yx 由以上得 2 26,2 26 ???? yx 即當(dāng) 2 26,2 26 ???? yx 時等號成立． 說明： 本題是基本題型的變形題．在基本題型中，大量的是整式中直接使用的均值不等式，這容易形成思維定式．本題中是利用條件將所求證的式子化成分式后再使用均值不等式．要注意靈活運用均值不等式． （ 2） ∵ yx aa ? ≥ 81)21x(212xxyx 22 a2a2a2 ????? ?? ， 81)21x(21 2 ???≤81， 0a1 ∴ 81)21x(21 2a2 ??? ≥ 81a2 ∴ yx aa ? ≥ 81a2 ∴ )aa(log yxa ? ≤ 812lo g)a2(lo ga81a ?? 第 2 課 一元二次不等式 【考點 導(dǎo)讀 】 1. 會解一元二次不等式，了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程之間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化。 2. 能運用一元二次不等式解決綜合性較強的問題 . 【基礎(chǔ) 練習(xí) 】 ： （ 1） 23 4 4 0xx? ? ? ? （ 2） 213022xx? ? ? （ 3） ? ?? ? 21 3 2 2x x x x? ? ? ? ? （ 4） 223214 2 ??????? xx 解：（ 1）原不等式化為 23 4 4 0xx? ? ? ，解集為 2 23 x? ? ? （ 2）原不等式化為 2 2 3 0xx? ? ? ，解集為 R （ 3）原不等式化為 2 10xx? ? ? ，解集為 ? （ 4） 由2 222213 42 1 013 222 4 , ,1322 2 5 0222xx xxxx xxxx? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ? ??? ? ???? ? ? ???得 得 得 2 1 2 1 ,6 1 6 1xxx? ? ? ? ? ???? ? ? ? ???或 ( 6 1 , 2 1 ) ( 2 1 , 6 1 )x? ? ? ? ? ? ? ? 點撥：解一元二次不等式要注意二次項系數(shù)的符號、對應(yīng)方程 ? 的判斷、以及對應(yīng)方程兩根大小的比較 . 2. 函數(shù) )1(log 221 ?? xy的定義域為 ? ?2 , 1 1, 2?????? 3..二次函數(shù) y=ax2+bx+c(x∈ R)的部分對應(yīng)值如下表： 則不等式 ax2+bx+c0 的解集是 ),3()2,( ????? ? 02 ??? cbxx 的解集是 }13{ ??? xxx 或 ，則 b=__2____ c=__3____. 【 范例導(dǎo)析 】 例 .解關(guān)于ｘ的不等式 )1(12 )1( ???? axxa 分析： 本題可以轉(zhuǎn)化為含參的一元二次不等式，要注意分類討論 . 解 :原不等式等價于 02 )2()1( ?? ??? x axa ∵ 1?a ∴等價于： ? ?02 121?? ??????????xaaxa （ *） x 3 2 1 0 1 2 3 4 y 6 0 4 6 6 4 0 6 a１ 時，（ *）式等價于 212????xaax0∵11112 ????? aaa１∴ x12??aa或 x２ a１時，（ *）式等價于 212????xaax0由２－12??aa＝1?aa知： 當(dāng) 0a１時，12??aa２，∴２ x12??aa； 當(dāng) a0時，12??aa２，∴12??aax２ ； 當(dāng) a＝ 0時，當(dāng) 12??aa ＝２，∴ x∈φ 綜 上所述可知：當(dāng) a0時，原不等式的解集為（ 12??aa ， 2）；當(dāng) a＝ 0時，原不等式的解集為φ；當(dāng) 0a１時，原不等式的解集為（ 2， 12??aa ）；當(dāng) a１時，原不等式的解集為（－∞， 12??aa ）∪（ 2，＋∞）。 思維點撥 :含參數(shù)不等式 ,應(yīng)選擇恰當(dāng)?shù)挠懻摌?biāo)準(zhǔn) 對所含字母分類討論 ,要做到 不重不漏 . 【反饋練習(xí)】 x的不等式 2 1 0,ax ax a? ? ? ?的解集為 R，則 a 的取值范圍是 ? ?,0?? 2 20ax bx? ? ? 解集為 1123x? ? ? ，則 ab值分別為 12， 2 f(x) = 2 221x ax a??? 的定義域為 R，則 a 的取值范圍為 ? ?10?， M 是關(guān)于 x的不等式 2x2+(3a－ 7)x+3＋ a－ 2a20解集，且 M中的一個元素是 0，求實數(shù) a的取值范圍，并用 a表示出該不等式的解集 . 解： 原不等式即 (2x－ a－ 1)(x＋ 2a－ 3)0， 由 0?x 適合不等式故得 0)32)(1( ??? aa ，所以 1??a ，或 23?a . 若 1??a ，則 5)1(252 132 ???????? aaa