【正文】 長(zhǎng)方體與正方體（二）對(duì)于小學(xué)幾何而言，立體圖形的表面積和體積計(jì)算，既可以很好地考查學(xué)生的空間想象能力，又可以具體考查學(xué)生在公式應(yīng)用中處理相關(guān)數(shù)據(jù)的能力，所以，很多重要考試都很重視對(duì)立體圖形的考查．例題精講如右圖，長(zhǎng)方體共有六個(gè)面(每個(gè)面都是長(zhǎng)方形)，八個(gè)頂點(diǎn)，十二條棱．①在六個(gè)面中，兩個(gè)對(duì)面是全等的，即三組對(duì)面兩兩全等．(疊放在一起能夠完全重合的兩個(gè)圖形稱為全等圖形．)②長(zhǎng)方體的表面積和體積的計(jì)算公式是：長(zhǎng)方體的表面積：；長(zhǎng)方體的體積：．③正方體是各棱相等的長(zhǎng)方體，它是長(zhǎng)方體的特例，它的六個(gè)面都是正方形．如果它的棱長(zhǎng)為，那么：，．長(zhǎng)方體與正方體的體積立體圖形的體積計(jì)算常用公式： 立體圖形示例體積公式相關(guān)要素長(zhǎng)方體三要素：、二要素：、正方體一要素：二要素：、不規(guī)則形體的體積常用方法：①化虛為實(shí)法②切片轉(zhuǎn)化法③先補(bǔ)后去法④實(shí)際操作法⑤畫圖建模法【例 1】 一個(gè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)之和是28厘米，而長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高的長(zhǎng)度各不相同，并且都是整厘米數(shù)，則長(zhǎng)方體的體積等于 立方厘米?！究键c(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】2星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯， 6年級(jí)，第16題，6分【解析】 由題意知長(zhǎng)、寬、高的和為，又根據(jù)題意長(zhǎng)、寬、高各不相同，且是整數(shù)，所以只能是4，所以體積為8立方厘米【答案】8【例 2】 將幾個(gè)大小相同的正方體木塊放成一堆，從正面看到的視圖是圖（a），從左向右看到的視圖是圖（b），從上向下看到的視圖是圖（c），則這堆木塊最多共有___________塊?！究键c(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】2星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級(jí)，初賽，8題【解析】 對(duì)于圖c來說，每個(gè)小方塊都摞了2層，最多有6塊?！敬鸢浮?【例 3】 一根長(zhǎng)方體木料，體積是立方米．已知這根木料長(zhǎng)米．寬為3分米，高該是多少分米?孫健同學(xué)把高錯(cuò)算為3分米．這樣，這根木料的體積要比立方米多多少?【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】2星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】小數(shù)報(bào)，決賽【解析】 (米)．米2分米．(立方米)．所以這根木料的高是2分米；算錯(cuò)后，這根木料的體積比立方米多立方米．【答案】【例 4】 如圖，兩個(gè)同樣的鐵環(huán)連在一起長(zhǎng)28厘米，每個(gè)鐵環(huán)長(zhǎng)16厘米。8個(gè)這樣的鐵環(huán)依此連在一起長(zhǎng) 厘米。【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級(jí)，復(fù)賽，第10題，4分【解析】 兩個(gè)鐵環(huán)連在一起，重疊的部分長(zhǎng)16228＝4厘米，8個(gè)這樣的鐵環(huán)依此連在一起長(zhǎng)16847＝100厘米?！敬鸢浮?00【例 5】 某工人用薄木板釘成一個(gè)長(zhǎng)方體的郵件包裝箱，并用尼龍編織條(如圖所示)在三個(gè)方向上的加固．所用尼龍編織條分別為365厘米，405厘米，485厘米．若每個(gè)尼龍加固時(shí)接頭重疊都是5厘米．問這個(gè)長(zhǎng)方體包裝箱的體積是多少立方米?【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】華杯賽，決賽，口試【解析】 長(zhǎng)方體中高寬， ⑴高長(zhǎng)， ⑵長(zhǎng)寬， ⑶⑵⑴：長(zhǎng)寬， ⑷⑷⑶：長(zhǎng)，從而寬，代入⑴得高．所以長(zhǎng)方體體積為(立方厘米)(立方米)【答案】 【例 6】 某工人用木板釘成一個(gè)長(zhǎng)方體郵件包裝箱，并用三根長(zhǎng)度分別為235厘米、445厘米、515厘米的尼龍帶進(jìn)行加固（如下圖），若每根尼龍帶加固時(shí)截頭重疊都是5厘米，那么這個(gè)長(zhǎng)方體包裝箱的體積是立方 米?！究键c(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，高年級(jí)，初賽，9題【解析】 長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為：（厘米）；長(zhǎng)方形的寬為:（厘米）；長(zhǎng)方形的高為：（厘米）；長(zhǎng)方形的體積為:（立方米）?！敬鸢浮俊纠?7】 一個(gè)長(zhǎng)方體的表面積是平方分米，其中一個(gè)面的長(zhǎng)是分米，寬是分米，它的體積是_____立方分米.【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯【解析】 長(zhǎng)方體的高是(分米).長(zhǎng)方體的體積是(立方分米)．【答案】【例 8】 把一根長(zhǎng)米的長(zhǎng)方體木料鋸成5段(如圖)，表面積比原來增加了96平方厘米．這根木料原來的體積是_____立方厘米．【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，決賽【解析】 (平方厘米)，(立方厘米)．所以這根木料原來的體積為2880立方厘米．【答案】2880【例 9】 一個(gè)長(zhǎng)方體的寬和高相等，并且都等于長(zhǎng)的一半(如圖)．將這個(gè)長(zhǎng)方體切成12個(gè)小長(zhǎng)方體，這些小長(zhǎng)方體的表面之和為600平方分米．求這個(gè)大長(zhǎng)方體的體積．【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】小數(shù)報(bào)，決賽【解析】 設(shè)大長(zhǎng)方體的寬(高)為分米，則長(zhǎng)為，右(左)面積為，其余面的面積為，根據(jù)題意， 所以，． 大長(zhǎng)方體的體積(立方分米)．【答案】250【例 10】 有三個(gè)大小一樣的正方體，將接觸的面用膠粘接在一起成圖示的形狀，.【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】3星 【題型】解答【解析】 三個(gè)小正方體拼接成圖中的樣子，減少了小正方體的4個(gè)側(cè)面正方形的面積，表面積減少了16平方厘米，每個(gè)正方形側(cè)面為平方厘米，每個(gè)正方體棱長(zhǎng)為厘米，三個(gè)小正方體體積(即所成形體的體積)是立方厘米. 【答案】24【例 11】 小明在桌面上擺了一些大小一樣的正方體木塊，擺完后從正面看如左下圖，從側(cè)面看如右下圖，那么他最多用了_____塊木塊，最少用了____ __塊木塊。 【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，五年級(jí)，決賽，第8題，10分【解析】 從上往下看，分別如左下圖和右下圖所示(圖中數(shù)字為每一格的木塊數(shù))。 【答案】最多25，最少9【例 12】 邊長(zhǎng)為的正方形，被分割成的小方格。每個(gè)小方格上堆放邊長(zhǎng)為的正方體積木，個(gè)數(shù)如圖所示。在每個(gè)積木外露的面上貼一張紅紙，其它面（與其它積木塊或方格紙相接的面）不貼。共貼 張紅紙。恰貼張紅紙的有 塊積木?！究键c(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】4星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，4年級(jí)，決賽，第11題，12分【解析】 從正面看，需要貼（張）；從左邊看，需要貼（張）；從右邊看，需要貼（張）；從前面看，需要（張）；從后面看，需要（張）；再看中間凹進(jìn)去的部分，需要貼（張），所以一共需要貼（張）；先看四條邊上，有塊積木貼張紅紙；非邊上的積木，有塊積木恰好貼張，所以一共有（塊）積木?！敬鸢浮抗操N26張，共有15塊【例 13】 有一個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng)是寬的2倍，寬是高的3倍；長(zhǎng)的與高的之和比寬多1厘米．這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是 立方厘米．【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯【解析】 長(zhǎng)的即寬，所以高的就是1厘米，高是3厘米，寬是厘米，長(zhǎng)是厘米，體積是(立方厘米)．【答案】486【鞏固】一個(gè)長(zhǎng)方體的各條棱長(zhǎng)的和是48厘米，并且它的長(zhǎng)是寬的2倍，高與寬相等，那么這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是______ 立方厘米．【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，決賽【解析】 依題意，這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高之和是(厘米)，于是它的寬與高都等于(厘米)，它的長(zhǎng)是厘米．所以這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是(立方厘米)．【答案】54【例 14】 把11塊相同的長(zhǎng)方體的磚拼成如圖所示的大長(zhǎng)方體，已知每塊磚的體積是，則大長(zhǎng)方體的表面積為多少？【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】4星 【題型】解答【解析】 如果知道每塊磚的長(zhǎng)、寬、高即可求出所有的量，但我們只知道它們的乘積，但可以從圖中發(fā)現(xiàn)隱含的數(shù)量關(guān)系．由圖可知每塊磚的長(zhǎng)、寬、高的比值，兩個(gè)長(zhǎng)等于三個(gè)寬，所以長(zhǎng)、寬之比為，四個(gè)高等于一個(gè)長(zhǎng)，所以長(zhǎng)、高之比為，長(zhǎng)、寬、高之比為，設(shè)磚的長(zhǎng)為12單位，那么體積應(yīng)該為個(gè)立方單位，所以一個(gè)單位長(zhǎng)度就是1厘米，所以大長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為：24厘米，12厘米，11厘米，所以大長(zhǎng)方體的表面積為：平方厘米．【答案】1368【例 15】 有大、中、小三個(gè)正方形水池，它們的內(nèi)邊長(zhǎng)分別是6米、3米、2米．把兩堆碎石分別沉沒在中、小水池的水里，兩個(gè)水池的水面分別升高了6厘米和4厘米．如果將這兩堆碎石都沉沒在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米？【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】4星 【題型】解答【解析】 把碎石沉沒在水中，水面升高所增加的體積，就等于所沉入的碎石的體積．因此，沉入水池中的碎石的體積是(米3)，而沉入小水池中的碎石的體積是(米3)．這兩堆碎石的體積一共是(米3)．把它們都沉入大水池里，．而大水池的底面積是(米3)．所以水面升高了(米)(厘米)(厘米)．故大水池的水面升高了厘米．【答案】【例 16】 一個(gè)正方體容器，容器內(nèi)部邊長(zhǎng)為24厘米，存有若干水，水深厘米，現(xiàn)將一些碎鐵塊放入容器中，鐵塊沉入水底，水面上升厘米，如果將這些鐵塊鑄成一個(gè)和容器等高的實(shí)心圓柱，重新放入池中，則水面升高幾厘米？【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】4星 【題型】解答【解析】 設(shè)鐵塊鑄成和容器等高的實(shí)心圓柱放入池中水面升高厘米，則有水面升高后水的總體積原來水的體積鐵塊浸入水中的體積，其中，得到，解得，所以水面升高了(厘米)．【答案】2【例 17】 如圖，有一個(gè)棱長(zhǎng)為10厘米的正方體鐵塊，現(xiàn)已在每?jī)蓚€(gè)對(duì)面的中央鉆一個(gè)邊長(zhǎng)為4厘米的正方形孔（邊平行于正方體的棱），且穿透．另有一長(zhǎng)方體容器，從內(nèi)部量，長(zhǎng)、寬、高分別為15厘米、12厘米、9厘米，內(nèi)部有水，水深3厘米．若將正方體鐵塊平放入長(zhǎng)方體容器中，則鐵塊在水下部分的體積為 立方厘米．【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】4星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，初賽，6年級(jí)【解析】 可以把正方體鐵塊看作三層：最下面一層為中央穿孔的長(zhǎng)方體，高為厘米；中間一層為個(gè)長(zhǎng)方體立柱，高為厘米；最上面一層也是高為厘米的中央穿孔的長(zhǎng)方體.由于長(zhǎng)方體容器內(nèi)原有水深厘米，所以正方體鐵塊放入水中后，鐵塊最下面一層肯定全部在水中，而水也不可能上升到最上面一層，則中間一層在水中的部分恰好為厘米.由于水面上升是由于鐵塊放入水中導(dǎo)致，水面上升的體積即等于鐵塊在水下部分的體積，即：，解得，故鐵塊在水下部分的體積為(立方厘米).【答案】315【例 18】 把1個(gè)棱長(zhǎng)是3厘米的正方體分割成若干個(gè)小的正方體，這些小正方體的棱長(zhǎng)必須是整厘米數(shù)．如果這些小正方體的體積不要求都相等，那么最少可分割成 個(gè)小正方體．【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】4星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，決賽【解析】 因?yàn)樾≌襟w的棱長(zhǎng)只可能是2厘米或1厘米．必須分割出棱長(zhǎng)是2厘米的小正方體才能使數(shù)量減少．顯然，棱長(zhǎng)是3厘米的正方體只能切割出一個(gè)棱長(zhǎng)為2厘米的小正方體，剩余部分再切割出個(gè)棱長(zhǎng)是1厘米的小正方體，這樣總共可以分割成(個(gè))小正方體．【答案】20【鞏固】有一個(gè)長(zhǎng)方體的盒子，從里面量長(zhǎng)40厘米，寬12厘米，高7厘米，在這個(gè)盒子里放長(zhǎng)5厘米，寬4厘米，高3厘米的長(zhǎng)方體木塊．最多可放 塊．【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】祖沖之杯【解析】 上圖表明的長(zhǎng)方形可以填滿的長(zhǎng)方形．于是的長(zhǎng)方體可以填滿的長(zhǎng)方體，即盒子中最多可放這種長(zhǎng)方體(個(gè))．【答案】56【例 19】 有甲、乙、丙3種大小的正方體木塊，棱長(zhǎng)比是．如果用這三種正方體拼成盡量小的一個(gè)正方體，且每種都至少用一個(gè)，則最少需要這三種正方體共多少？【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】4星 【題型】解答【解析】 設(shè)甲的棱長(zhǎng)是1，則乙的棱長(zhǎng)是2，丙的棱長(zhǎng)是3．一個(gè)甲種木塊的體積是1，一個(gè)乙種木塊的體積是，一個(gè)丙種木塊的體積是．由于每種正方體都要用到，那么所拼成的正方體的棱長(zhǎng)最小應(yīng)為．當(dāng)這三種木塊拼成的正方體的棱長(zhǎng)是5時(shí)，體積是．要想使三種正方體的總數(shù)最小，則體積較大的木塊應(yīng)盡可能多．由于棱長(zhǎng)為5，所以其中丙種木塊只能有1個(gè)．有了1個(gè)丙種木塊后，乙種木塊最多可以有塊．丙種木塊的體積是27，乙種木塊的體積是，余下的體積為．所以還需要甲種木塊塊．所以共需要至少塊．【答案】50【例 20】 用、三種小木塊拼成的正方體．現(xiàn)有足夠多的 的小木塊，還有14塊的小木塊，如果要拼成10個(gè)的正方體，則最少需要的小木塊________塊．【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】4星 【題型】填空【解析】 、三種木塊的體積分別為2，3，4，其中只有3為奇數(shù)，2，4都是偶數(shù)．因?yàn)椋w積為奇數(shù)，所以每個(gè)的正方體中，的木塊要有奇數(shù)塊．當(dāng)只用1塊時(shí)，剩下的體積為24，但無法完全用完成，還需要的小木塊，由于24和4都是4的倍數(shù)，所以的小木塊的體積和也是4的倍數(shù)，至少要用2塊的小木塊．檢驗(yàn)可知用1塊的小木塊、2塊的小木塊和5塊的小木塊可以拼成的正方體．當(dāng)用3塊的小木塊時(shí)，體積剩下18，可以再用4塊的小木塊和1塊的小木塊拼成．當(dāng)用5塊的小木塊時(shí)，體積剩下12，此時(shí)可以再用3塊的小木塊拼成，即此時(shí)不需要用的小木塊拼成．為了盡量少用的木塊，所以要盡量多用其他木塊．而一共只有14塊的木塊，所以可以在8個(gè)的正方體中各用1塊的木塊，另2個(gè)的正方體各用3塊的木