【正文】 設點 M 的坐標為 ),( yx ，點 P 的坐標為 ),(00 yx，則20xx?，0yy?． 因為 ),(00 yxP在圓 122 ??yx 上，所以 12020 ??yx． 將 xx 20?， yy ?0代入方程 12020 ??yx得 14 22 ??yx ．所以點 M 的軌跡是一個橢圓 14 22 ??yx ． 說明： 此題是利用相關點法求軌跡方程的方法，這種方法具體做法如下：首先設動點的坐標為 ),( yx ， 設已知軌跡上的點的坐標為 ),(00 yx，然后根據(jù)題目要求，使 x ， y 與0x，0y建立等式關系， 從而由這些等式關系求出0x和0y代入已知的軌跡方程，就可以求出關于 x ， y 的方程， 化簡后即我們所求的方程．這種方法是求軌跡方程的最基本的方法，必須掌握． 例 14 已知長軸為 12，短軸長為 6，焦點在 x 軸上的橢圓，過它對的左焦點 1F 作傾斜解為 3?的直線交橢圓于 A ， B 兩點，求弦 AB 的長． 分析： 可以利用弦長公式 ]4))[(1(1 212212212 xxxxkxxkAB ??????? 求得， 也可以利用橢圓定義及余弦定理，還可以利用焦點半徑來求． 解 ： (法 1)利用直線與橢圓相交的弦長公式求解． 8 / 41 2121 xxkAB ??? ]4))[(1( 212212 xxxxk ???? ．因為 6?a ， 3?b ，所以 33?c ．因為焦點在 x 軸上， 所以橢圓方程為 1936 22 ??yx，左焦點 )0,33(?F ，從而直線方程為 93 ?? xy ． 由直線方程與橢圓方程聯(lián)立得： 083637213 2 ???? xx ．設 1x ， 2x 為方程兩根，所以13 37221 ???xx ， 1383621 ??xx ， 3?k ， 從而1348]4))[(1(1 212212212 ???????? xxxxkxxkAB ． (法 2)利用橢圓的定義及余弦定理求解 ． 由題意可知橢圓方程為 1936 22 ??yx ，設 mAF?1 ， nBF?1 ，則 mAF ??122 ，nBF ??122 ． 在 21FAF? 中， 3c os22112212122 ?FFAFFFAFAF ???，即21362336)12( 22 ???????? mmm ； 所以34 6??m．同理在 21FBF? 中，用余弦定理得34 6??n，所以 1348??? nmAB ． (法 3)利用焦半徑求解． 先根據(jù)直線與橢圓聯(lián)立的方程 083637213 2 ???? xx 求出方程的兩根 1x ， 2x ，它們分別是 A ， B 的橫坐標． 再根據(jù)焦半徑 11 exaAF ?? ， 21 exaBF ?? ，從而求出 11 BFAFAB ?? ． 例 15 橢圓 1925 22 ??yx 上的點 M 到焦點 1F 的距離為 2， N 為 1MF 的中點，則 ON （ O 為坐標原點）的值為 A． 4 B． 2 C． 8 D． 23 9 / 41 解： 如圖所示，設橢圓的另一個焦點為 2F ，由橢圓第一定義得10221 ??? aMFMF ，所以 821010 12 ????? MFMF ， 又因為 ON 為 21FMF? 的中位線，所以 421 2 ?? MFON，故答案為 A． 說明： (1)橢圓定義：平面內與兩定點的距離之和等于常數(shù)（大于 21FF ）的點的軌跡叫做橢圓． (2)橢圓上的點必定適合橢圓的這一定義，即 aMFMF 221 ?? ，利用這個等式可以解決橢圓上的點與焦點的有關距離． 例 16 已知橢圓 134 22 ?? yxC： ，試確定 m 的取值范圍，使得對于直線 mxyl ?? 4： ，橢圓 C 上有不同的兩點關于該直線對稱． 分析： 若設橢圓上 A ， B 兩點關于直線 l 對稱，則已知條件等價于： (1)直線 lAB? ； (2)弦 AB 的中點 M 在 l 上． 利用上述條件建立 m 的不等式即可求得 m 的取值范圍． 解： (法 1)設橢圓上 ),( 11 yxA ， ),( 22 yxB 兩點關于直線 l 對稱，直線 AB 與 l 交于 ),( 00 yxM點． ∵ l 的斜率 4?lk ，∴設直線 AB 的方程為 nxy ??? 41 ．由方程組????????????,134,4122 yxnxy 消去 y 得 04816813 22 ???? nnxx ①?！?13821 nxx ?? ．于是 1342 210 nxxx ??? ，131241 00 nnxy ???? ， 即點 M 的坐標為 )1312,134( nn ．∵點 M 在直線 mxy ??4 上，∴ mnn ??? 1344 ．解得mn 413?? ． ② 將式②代入式①得 0481692613 22 ???? mmxx ③ ∵ A ， B 是 橢 圓 上 的 兩 點 ， ∴ 0)481 6 9(134)26( 22 ?????? mm ．解得1313213132 ??? m ． 10 / 41 (法 2)同解法 1 得出 mn413??，∴ mmx ???? )413(1340， mmmmxy 3413)(4141341 00 ?????????? ，即 M 點坐標為 )3,( mm ?? ． ∵ A ， B 為橢圓上的兩點，∴ M 點在橢圓的內部，∴ 13 )3(4 )( 22 ???? mm ．解得1313213132 ??? m ． (法 3)設 ),( 11 yxA ， ),( 22 yxB 是橢圓上關于 l 對稱的兩點，直線 AB 與 l 的交點 M 的坐標為 ),( 00 yx ． ∵ A ， B 在 橢 圓 上 ， ∴ 134 2121 ?? yx ， 134 2222 ?? yx ． 兩 式 相 減 得0))((4))((3 21212121 ?????? yyyyxxxx ， 即 0)(24)(23 210210 ?????? yyyxxx ．∴ )(43 210021 21 xxyxxxy ?????． 又∵直線 lAB? ，∴ 1??? lAB kk ，∴ 1443 00 ???? yx，即 00 3xy ? ①。 又 M 點在直線 l 上，∴ mxy ?? 00 4 ②。由①，②得 M 點的 坐標為 )3,( mm ?? ．以下同解法 2. 說明： 涉及橢圓上兩點 A ， B 關于直線 l 恒對稱，求有關參數(shù)的取值范圍問題，可以采用列參數(shù)滿足的不等式： (1)利用直線 AB 與橢圓恒有 兩個交點，通過直線方程與橢圓方程組成的方程組，消元后得到的一元二次方程的判別式 0?? ，建立參數(shù)方程． (2)利用弦 AB 的中點 ),( 00 yxM 在橢圓內部，滿足 12020 ?? byax ，將 0x ， 0y 利用參數(shù)表示，建立參數(shù)不等式． 例 17 在面積為 1的 PMN? 中， 21tan ?M ， 2tan ??N ，建立適當?shù)淖鴺讼?，求出?M 、N 為焦點且過 P 點的橢圓方程． 11 / 41 解： 以 MN 的中點為原點， MN 所在直線為 x 軸建立直角坐標系，設 ),( yxP ． 則???????????????.1,21,2cycxycxy∴??????????233435ccycx且即 )32,325(P∴???????????,43,13412252222baba 得???????.3,41522ba ∴所求橢圓方程為 13154 22 ?? yx 例 18 已知 )2,4(P 是直線 l 被橢圓 1936 22 ??yx 所截得的線段的中點，求直線 l 的方程． 分析： 本題考查直線與橢圓的位置關系問題．通常將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去 y (或 x )，得到關 于 x (或 y )的一元二次方程，再由根與系數(shù)的關系，直接求出 21 xx? ， 21xx (或21 yy? ， 21yy )的值代 入計算即得． 并不需要求出直線與橢圓的交點坐標，這種“設而不求”的方法，在解析幾何中是經(jīng)常采用的． 解： 方法一： 設所求直線方程為 )4(2 ??? xky ．代入橢圓方程，整理得 036)24(4)24(8)14( 222 ??????? kxkkxk ① 設直線與橢圓 的交點為 ),( 11 yxA ， ),( 22 yxB ，則 1x 、 2x 是 ①的兩根， ∴14 )24(8 221 ???? k kkxx ∵ )2,4(P 為 AB 中點，∴ 14 )24(424221 ????? k kkxx， 21??k ．∴所求直線方程為082 ??? yx ． 方法二： 設直線與橢圓交點 ),( 11 yxA ， ),( 22 yxB ．∵ )2,4(P 為 AB 中點，∴ 821 ??xx ，421 ??yy ． 又∵ A ， B 在 橢 圓 上 ， ∴ 364 2121 ?? yx ， 364 2222 ?? yx 兩 式 相 減 得0)(4)( 22212221 ???? yyxx ， 12 / 41 即 0))((4))(( 21212121 ?????? yyyyxxxx ．∴21)(4 )( 21 2121 21 ???????? yy xxxx yy．∴直線方程為 082 ??? yx ． 方法三： 設所求直線與橢圓的一個交點為 ),( yxA ，另一個交點 )4,8( yxB ?? ． ∵ A 、 B 在橢圓上，∴ 364 22 ?? yx ①。 36)4(4)8( 22 ???? yx ② 從而 A ， B 在方程①－②的圖形 082 ??? yx 上， 而過 A 、 B 的直線只有一條，∴直線方程為 082 ??? yx ． 說明： 直線與圓錐曲線的位置關系是重點考查的解析幾何問題，“設而不求”的方法是處理此類問題的有效方法． 若已知焦點是 )0,33( 、 )0,33(? 的橢圓截直線 082 ??? yx 所得弦中點的橫坐標是 4，則如何求橢圓方程？ 典型例題一 例 1 橢圓的一個頂點為 ? ?02，A ，其長軸長是短軸長的 2 倍，求橢圓的標準方程． 分析： 題目沒有指出焦點的位置，要考慮兩種位置． 解： （ 1）當 ? ?02，A 為長軸端點時， 2?a ， 1?b ， 橢圓的標準方程為： 114 22 ??yx ； （ 2）當 ? ?02，A 為短軸端點時， 2?b ， 4?a ， 橢圓的標準方程為： 1164 22 ??yx ； 說明： 橢圓的標準方程有兩個，給出一個頂點的坐標和對稱軸的位置，是不能確定橢圓的橫豎的，因而要考慮兩種情況． 典型例題二 例 2 一個橢圓的焦點將其準線間的距離三等分，求橢圓的離心率． 13 / 41 解：3122 2 ??? cac? ∴ 223 ac ? ， ∴3331 ??e． 說明： 求橢圓的離心率問題，通常有兩種處理方法，一是求 a ，求 c ，再求比．二是列含 a 和 c 的齊次方程，再化含 e 的方程，解方程即可． 典型例題三 例 3 已知中心在原點，焦點在 x 軸上的橢圓與直線 01???yx 交于 A 、 B 兩點， M為 AB 中點， OM 的斜率為 ，橢圓的短軸長為 2，求橢圓的方程． 解： 由題意，設橢圓方程為 1222 ??yax ， 由??????????101222 yaxyx ，得 ? ? 021222 ??? xaxa ， ∴221axxM??，21 11 axy MM ????， 4112 ??? axyk MMOM?，∴ 42?a ， ∴ 14 22 ??yx 為所求． 說明： （ 1）此題求橢圓方程采用的是待定系數(shù)法；（ 2）直線與曲線的綜合問題，經(jīng)常要借用根與系數(shù)的關系，來解決弦長、弦中點、弦斜率問題． 典型例題四 例 4 橢圓 1925 22 ??yx 上不同三點 ? ?11 yxA ， ， ?????? 594，B， ? ?22 yxC ， 與焦點 ? ?04，F(xiàn) 的距離成等差數(shù)列． （ 1）求證 821 ??xx ； （ 2）若線段 AC 的垂直平分線與 x 軸的交點為 T ，求直線 BT 的斜率 k ． 14 / 41 證明： （ 1）由橢圓方程知 5?a ， 3?b ， 4?c ． 由圓錐曲線的統(tǒng)一定義知：acxcaAF ?? 12， ∴ 11 545 xexaAF ????． 同理 2545 xCF ??．