復(fù)變函數(shù)與積分變換fourier變換簡(jiǎn)介-文庫吧
2025-07-06 08:56 本頁面
【正文】 作 Fourier變換 , 就是求這個(gè)時(shí)間函數(shù) f (t)的頻譜 . ? ?F ? ? ?? ?ftF ?的 頻 譜 密 度 函 數(shù) ；? ?? ?a r gftF ?的 振 幅 頻 譜 ；? ?ft 的 相 位 頻 譜 ?！?例 1】 求矩形脈沖函數(shù) 的 Fourier變換及其積分表達(dá)式 。 1 , 1()0 , 1? ??? ????tftt? ?1111( ) ( )1 2 sinjtj t j tjjeF f t e d t e d tjeej???????????????? ? ???? ? ??? ? ? ???00011( ) ( ) ( ) c os21 2 si n 2 si n c osc os?? ? ? ? ???? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?????????jtf t F e d F t dtt d d24000| | 1sin c o sd | | 10 | | 1sin0 , d sin c ( ) d2?????????? ? ? ??????????? ? ????因 此 可 知 當(dāng) 時(shí) 有ttttxt x x xx? ?F ?? ?sin另 外 ， 由 =2 可 作 出 頻 譜 圖 :?2? ?F ?? 2? 3?s in 0k? ? ?? ? ?0 , 0()e , 0, 0.?????? ????【例2】 求指數(shù)衰減函數(shù) 的Fou rie r變換及其積分表達(dá)式 其中ttfttt f (t) jj ( j )2200( ) ( ) e d1je e d e djtt t tF f t ttt?? ? ? ????? ? ? ??????? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ??????22000c os sind / 2 0e0 tttttt?? ? ? ???????????? ????? ????因 此jj222201 1 j( ) ( ) e d e d221 c os si ndttf t Ftt?? ??? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ?? ? ? ?? ? ? ????????????? δ 函數(shù)及其 Fourier變換 δ 函數(shù)的定義 (1)(狄拉克 )滿足下列兩個(gè)條件的函數(shù)稱為δ 函數(shù)。 1 ( ) 0 , 0( )2 ( ) 1 ttt dt??????? ? ? ???????? (2)普通函數(shù)序列極限形式的定義 )(lim)( 0 tt ?? ?? ??其中 ????????????? ?tttt,00,。0,0)( 1 (3)廣義函數(shù)形式的定義 若 f (t)為無窮次可微函數(shù)，則 )()()(00 tfdttttf ??????? ? 函數(shù)在積分變換中的作用 (1)有了 δ 函數(shù)，對(duì)于點(diǎn)源和脈沖量的研究就能夠象處理連續(xù)分布的量那樣，以統(tǒng)一的方式來對(duì)待。 (2)盡管 δ 函數(shù)本身沒有普通意義下的函數(shù)值，但它與任何一個(gè)無窮次可微的函數(shù)的乘積在 (∞,+∞) 上的積分都有確定的值。 (3)δ 函數(shù)的 Fourier變換是廣義付氏變換，許多重要的函數(shù)，如常函數(shù)、符號(hào)函數(shù)、單位階躍函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)等是不滿足 Fourier積分定理中的絕對(duì)可積條件的 (即 不存在 )，這些函數(shù)的廣義 Fourier變換都可以利用 δ 函數(shù)而得到。 ????? dttf )( 篩選性質(zhì) ( 1 ) ( ) ( ) ( 0 )( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( )( 3 ) ( ) ( ) ( 0 ) ( )( 4 ) ( ) 0( 5 ) 39。( ) ( ) 39。( 0 )( 6 ) 39。( ) ( )?????????????????? ? ????????t f t d t fg t t a g a t ag t t g tttt f t d t fu t t 函數(shù)的 Fourier變換 0[ ( ) ] ( ) ( ) e d e 1j t j ttt F t t??? ? ??? ?????? ? ? ??F于是 ? (t)與常數(shù) 1構(gòu)成了一 Fourier變換對(duì) . 1 1( ) [ 1 ]2itt e d??????????? ?F 2 ( )ite d t? ? ? ????????證法 2：若 F(?)=2?? (?), 由 Fourier逆變換可得 j01( ) 2 ( ) e d 12t j tf t e???? ? ? ???????? ? ??【 例 3】 證明： 1和 2?? (?)構(gòu)成 Fourier變換對(duì) . 證法 1： ? ? ? ?1 2 .j t j se dt s t e ds?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ???F1000jjjj0j01( ) (
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