【正文】 3。1|x|163。1|x|163。1inf{f(x)+g(x)}=sup{f(x)+g(x)}=0.|x|163。1|x|163。1二單調(diào)函數(shù)定義3 設(shè)f為定義在D上的函數(shù)．若對任何x1,x2206。D,當(dāng)x1x2時(shí)，總 有（i）f(x1)163。f(x2),則稱f為D上的增函數(shù)，特別當(dāng)成立嚴(yán)格不等式f(x1)f(x2)時(shí)，稱f為D上的嚴(yán)格增函數(shù)；167。(ii)f(x1)179。f(x2)，則稱f為D上的減函數(shù)，特別當(dāng)成立嚴(yán)格不等式f(x1)f(x2)時(shí)，稱f為D上的嚴(yán)格減函數(shù)；增函數(shù)和減函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)，嚴(yán)格增函數(shù)和嚴(yán)格減函數(shù)統(tǒng)稱為嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)．例3 函數(shù)y=x3在R上是嚴(yán)格增的．因?yàn)閷θ魏?，x1,x2206。R,當(dāng)x1x2時(shí)總有x2x1=(x2x1)[(x2+x12)+234x1]0，即x1例4 函數(shù)y=[x]在R上是增的．因?yàn)閷θ魏蝬1x2206。R，當(dāng)x1x2時(shí),顯然有[x1]163。 [x2]．但R上不是嚴(yán)格增的，若取x1=0,x2=12，則有[x1]=[x2]=0，即定義中所要求的嚴(yán)格不等式不成立．此函數(shù)的圖象如圖1—3所示．嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)的圖象與任一平行于x軸的直 線至多有一個(gè)交點(diǎn)，這一特性保證了它必定具有反 函數(shù)．定理1．2設(shè)y=f(x),x206。D為嚴(yán)格增(減)函數(shù)，則f必有反函數(shù)f定義域f(D)上也是嚴(yán)格增(減)函數(shù)．證設(shè)f在D上嚴(yán)格增．對任一y206。f(D)，有x206。D使f(x)=y．下面證明這樣的x只能有一個(gè)．事實(shí)上，對于D內(nèi)任一x1185。x，由f在D上的嚴(yán)格增性，當(dāng)x1x2時(shí)f(x1)y，當(dāng)x1x時(shí)有f(x1)y，總之f(x1)185。y．這就說明，對每一個(gè)y206。f(D)，1，且f1在其都只存在唯一的一個(gè)x206。D，使得f(x)=y，從而函數(shù)f存在反函數(shù)x=fy206。f(D)．1(y)，現(xiàn)證f1也是嚴(yán)格增的．任取y1,y2206。f(D)，y1y2設(shè)x1=f1(y1),x2=f1(y2)，則y1=f(x1),y2=f(x2)．由y1y2及f的嚴(yán)格增性，顯然有x1x2，即f1(y1)f1(y2)．所以反函數(shù)f21是嚴(yán)格增的．例5 函數(shù)y=x在[—165。，0)上是嚴(yán)格減的，有反函數(shù)(按習(xí)慣記法)y=x，x206。(0,+165。)。y=x在（0，+165。)上是嚴(yán)格增的，有反函數(shù)y=2x,x206。[0，+165。)。但y=x在2167。整個(gè)定義域R上不是單調(diào)的，也不存在反函數(shù)．上節(jié)中我們給出了實(shí)指數(shù)冪的定義，從而將指數(shù)函數(shù)y=ax(a0,a185。1)的定義域拓廣到整個(gè)實(shí)數(shù)集R．下面證明指數(shù)函數(shù)在R上的嚴(yán)格單調(diào)性．例6 證明：，y=ax當(dāng)a1時(shí)在R上嚴(yán)格增；當(dāng)0證設(shè)a1．給定x1,x2206。R,x1，可取到有理數(shù)r1,r2，使x1r1r2x2，故有ax1=x sup{ar|r為有理數(shù)}163。arar2163。sup{ar|r為有理數(shù)}=ax2，1rx1rx2這就證明了a當(dāng)0a1時(shí)在R上嚴(yán)格遞增．注由例6及定理1．2還可得出結(jié)論：對數(shù)函數(shù)y=log嚴(yán)格遞增，當(dāng)0三奇函數(shù)和偶函數(shù)定義4設(shè)D為對稱于原點(diǎn)的數(shù)集，f為定義在D上的函數(shù)．若對每一個(gè)x206。D，有f(x)=f(x)(f(x)=f(x))，ax當(dāng)a1時(shí)在(0，+165。)上則稱f為D上的奇(偶)函數(shù)．從函數(shù)圖形上看，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)的圖象則關(guān)于y軸對稱．例如，正弦函數(shù)y=sinx和正切函數(shù)y=tanx工是奇函數(shù)，余弦函數(shù)y=cosx是偶函數(shù)，符號函數(shù)y=sgnx是奇函數(shù)(見圖1—1)．而函數(shù)f(x)= sinx+cosx既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，因若取x0=p4，則f(x0)=2，f(x0)=0，顯然既不成立f(x0)=f(x0)，也不成立f(x0)=f(x0)．四周期函數(shù)設(shè)f為定義在數(shù)集D上的函數(shù)．若存在s0，使得對一切x206。D有f(x177。s)=f(x)，則稱f為周期函數(shù)，s稱為f的一個(gè)周期．顯然，若s為f的周期，則ns(n為正整數(shù))也是f的周期．若在周期函數(shù)f的所有周期中有一個(gè)最小的周期，則稱此最小周期為f的基本周期，或簡稱周期．167。例如，sinx的周期為2p，tanx的周期為p．函數(shù) f(x)=x[x],x206。R的周期為1(見圖1—4)． 常量函數(shù)f(x)=c 是以任何正數(shù)為周期的周期函數(shù)，但不存在基本周期.(Dirichl)et第四篇：數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論教學(xué)目的: 通過本章的教學(xué)使學(xué)生掌握中學(xué)數(shù)學(xué)教育學(xué)的研究對象、內(nèi)容及其學(xué)習(xí)該學(xué)科的意義，:為什么要開設(shè)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論課。如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論。教學(xué)重、難點(diǎn): 數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論的研究對象、內(nèi)容及其學(xué)習(xí)該學(xué)科的意義為本章的重點(diǎn)。它對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的指導(dǎo)性作用為本章難點(diǎn)。教學(xué)方法: 講解法 教學(xué)過程: 數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論是高等師范院校數(shù)學(xué)教育專業(yè)的一門必修課。它以黨的教育方針為依據(jù)，以辯證唯物主義為指導(dǎo)，根據(jù)中學(xué)生個(gè)性心理特點(diǎn)的發(fā)展，把專業(yè)知識和教育學(xué)、心理學(xué)、科學(xué)方法論等學(xué)科知識與數(shù)學(xué)教學(xué)中的各種問題有機(jī)結(jié)合，系統(tǒng)研究數(shù)學(xué)課程在整個(gè)基礎(chǔ)教育中的地位和作用，以及數(shù)學(xué)教學(xué)過程的基本規(guī)律及應(yīng)用。本章要解決的是五個(gè)問題:為什么要開設(shè)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論課。數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論的研究對象。數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論的特點(diǎn)。數(shù)學(xué)教學(xué)系統(tǒng)。數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論的研究方法。167。 為什么要開設(shè)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論是高等師范院校數(shù)學(xué)教育專業(yè)的一門必修課當(dāng)代的數(shù)學(xué)教師，不論是初中的、高中的還是大學(xué)的數(shù)學(xué)教師，都必須具備現(xiàn)代教育的思想和方法，它包括: 以人為本的現(xiàn)代教育理念、全面的教育質(zhì)量觀、多元的人才觀、立體的教學(xué)觀、課堂教學(xué)的多功能觀、符合時(shí)代特征的學(xué)生觀，以及現(xiàn)代教育技術(shù)和手段的掌握和運(yùn)用。很難想象，一個(gè)不懂得教學(xué)理論和教學(xué)方法的教師，他會根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平進(jìn)行“換位思考”，會充分發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主體作用使課堂教學(xué)生動(dòng)活潑，會使數(shù)學(xué)教科書中各種靜態(tài)的知識達(dá)到動(dòng)態(tài)、發(fā)展的境地，從而使講授的內(nèi)容顯得通俗易懂、簡單明了。正因?yàn)槿绱?，人們把?shù)學(xué)教育專業(yè)的合格畢業(yè)生的知識結(jié)構(gòu)描述為:具備一定深度的物理學(xué)科知識和教育學(xué)、心理學(xué)、教學(xué)法等知識，并使這些知識組合成一個(gè)有機(jī)的整體結(jié)構(gòu)。，有助于解決數(shù)學(xué)教學(xué)低效率問題。長期以來，在應(yīng)試教育的影響下，我們教師中的不少人，把自己和他所教的學(xué)生訓(xùn)練成應(yīng)考的機(jī)器。一切為了考試，可以不尊重學(xué)生的個(gè)性，不講教學(xué)藝術(shù)。照本宣科滿堂灌的、大搞題海戰(zhàn)術(shù)的、不動(dòng)手去做而只在黑板上畫實(shí)驗(yàn)講實(shí)驗(yàn)的??這種既耗費(fèi)師生精力和時(shí)間，也難以讓師生都體驗(yàn)其中樂趣的教學(xué)，效率是相當(dāng)?shù)偷?。?shù)學(xué)課程與教學(xué)論，其基本內(nèi)容來源于數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐，其中許多觀點(diǎn)、方法都是多年來活躍在教學(xué)第一線的數(shù)學(xué)教師們通過教學(xué)實(shí)踐總結(jié)出來的。而不少的理論又汲取了教育學(xué)、心理學(xué)的研究成果，再把它們與數(shù)學(xué)教學(xué)的具體內(nèi)容及過程結(jié)合起來，使之更具針對性和適用性。通過《數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論》 的學(xué)習(xí)，我們可以找到造成數(shù)學(xué)教學(xué)低效率的各種原因，理出一些教學(xué)改革的思路來。，是倡導(dǎo)素質(zhì)教育的需要針對應(yīng)試教育存在的各種弊端，從20世紀(jì)90年代開始，我國就提出素質(zhì)教育的主張，特別是在《中國教育改革和發(fā)展綱要》中強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)教育要由應(yīng)試教育向素質(zhì)教育轉(zhuǎn)變，并指出，我們的學(xué)校教育應(yīng)該是面向全體學(xué)生，全面提高學(xué)生的思想道德、文化科學(xué)、勞動(dòng)技能和身體心理素質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生生動(dòng)活潑地發(fā)展。數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論把研究和遵循認(rèn)知規(guī)律、教育規(guī)律，追求教育思想、教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法的科學(xué)性放在第一位，在內(nèi)容的選取、問題的提出、理論的建立等方面，都力求突出上邊的“兩全一化”，因而是符合當(dāng)今倡導(dǎo)的素質(zhì)教育的精神的。鑒于上述分析，我們說:數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論是一門不可或缺的高等師范院校數(shù)學(xué)教育專業(yè)的必修課。學(xué)習(xí)要求:(1)明確數(shù)學(xué)教學(xué)的目的和任務(wù)以及數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論的基本精神，理解數(shù)學(xué)教學(xué)的基本理論，掌握數(shù)學(xué)教學(xué)過程的一般規(guī)律和方法。(2)掌握分析和處理中學(xué)數(shù)學(xué)教材的基本方法，并具備一定選擇教材內(nèi)容、教學(xué)模式和教學(xué)方法的能力。(3)具備一定的創(chuàng)新意識和研究數(shù)學(xué)教學(xué)法(包括實(shí)驗(yàn)教學(xué)法)的能力，以適應(yīng)未來數(shù)學(xué)教育、教學(xué)的需要(4)具備辯證唯物主義的教育觀和素質(zhì)教育的新理念，具有良好的師德、高度的責(zé)任感和扎實(shí)的數(shù)學(xué)教師職業(yè)知識與技能，符合各地各類學(xué)校對數(shù)學(xué)教師的要求。167。 數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論是研究中學(xué)教育系統(tǒng)中的數(shù)學(xué)教育現(xiàn)象、揭示數(shù)學(xué)教育規(guī)律的一門科學(xué)。數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論研究的對象是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。因此，它必須研究中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的教學(xué)過程、學(xué)生的學(xué)習(xí)過程及教材，當(dāng)然還要涉及到其它直接相關(guān)的內(nèi)容。一、數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論的內(nèi)容和要求歷年來，在高等師范院校數(shù)學(xué)教育專業(yè)開設(shè)的課程及采用的教材一般稱之“教材教法”或“教學(xué)法”，它們多以數(shù)學(xué)教學(xué)過程中教師的工作方式、方法為主要研究對象，往往是建立在教學(xué)經(jīng)驗(yàn)總結(jié)的基礎(chǔ)上，以“怎樣教”的研究為核心，著重研究數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的具體方法。隨著教育、教學(xué)改革的深入，人們越來越清醒地認(rèn)識到:應(yīng)當(dāng)利用現(xiàn)代教育理論中許多新成果來豐富我們原有的內(nèi)容，上升為比較系統(tǒng)而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹R體系，以達(dá)到引領(lǐng)中學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革的目的?！稊?shù)學(xué)課程與教學(xué)論》正是在這樣的背景下，邁出探索性的一步。它以數(shù)學(xué)教學(xué)過程、學(xué)生的學(xué)習(xí)過程及教材為主要研究對象，既研究過程中教師的教，也研究過程中學(xué)生的學(xué)。以教育學(xué)、心理學(xué)、邏輯學(xué)、思維科學(xué)、科學(xué)方法論、數(shù)學(xué)教育等方面的有關(guān)理論、思想和方法為主體，現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)的方法為核心，提高數(shù)學(xué)教學(xué)能力為目的，力求融理論、方法和技能為一體，相互聯(lián)系又各有側(cè)重。突出一般教學(xué)理論在數(shù)學(xué)教育中新