【正文】 3。1|x|163。1|x|163。1inf{f(x)+g(x)}=sup{f(x)+g(x)}=0.|x|163。1|x|163。1二單調(diào)函數(shù)定義3 設(shè)f為定義在D上的函數(shù)．若對任何x1,x2206。D,當x1x2時，總 有（i）f(x1)163。f(x2),則稱f為D上的增函數(shù)，特別當成立嚴格不等式f(x1)f(x2)時，稱f為D上的嚴格增函數(shù)；167。(ii)f(x1)179。f(x2)，則稱f為D上的減函數(shù)，特別當成立嚴格不等式f(x1)f(x2)時，稱f為D上的嚴格減函數(shù)；增函數(shù)和減函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)，嚴格增函數(shù)和嚴格減函數(shù)統(tǒng)稱為嚴格單調(diào)函數(shù)．例3 函數(shù)y=x3在R上是嚴格增的．因為對任何，x1,x2206。R,當x1x2時總有x2x1=(x2x1)[(x2+x12)+234x1]0，即x1例4 函數(shù)y=[x]在R上是增的．因為對任何x1x2206。R，當x1x2時,顯然有[x1]163。 [x2]．但R上不是嚴格增的，若取x1=0,x2=12，則有[x1]=[x2]=0，即定義中所要求的嚴格不等式不成立．此函數(shù)的圖象如圖1—3所示．嚴格單調(diào)函數(shù)的圖象與任一平行于x軸的直 線至多有一個交點，這一特性保證了它必定具有反 函數(shù)．定理1．2設(shè)y=f(x),x206。D為嚴格增(減)函數(shù)，則f必有反函數(shù)f定義域f(D)上也是嚴格增(減)函數(shù)．證設(shè)f在D上嚴格增．對任一y206。f(D)，有x206。D使f(x)=y．下面證明這樣的x只能有一個．事實上，對于D內(nèi)任一x1185。x，由f在D上的嚴格增性，當x1x2時f(x1)y，當x1x時有f(x1)y，總之f(x1)185。y．這就說明，對每一個y206。f(D)，1，且f1在其都只存在唯一的一個x206。D，使得f(x)=y，從而函數(shù)f存在反函數(shù)x=fy206。f(D)．1(y)，現(xiàn)證f1也是嚴格增的．任取y1,y2206。f(D)，y1y2設(shè)x1=f1(y1),x2=f1(y2)，則y1=f(x1),y2=f(x2)．由y1y2及f的嚴格增性，顯然有x1x2，即f1(y1)f1(y2)．所以反函數(shù)f21是嚴格增的．例5 函數(shù)y=x在[—165。，0)上是嚴格減的，有反函數(shù)(按習慣記法)y=x，x206。(0,+165。)。y=x在（0，+165。)上是嚴格增的，有反函數(shù)y=2x,x206。[0，+165。)。但y=x在2167。整個定義域R上不是單調(diào)的，也不存在反函數(shù)．上節(jié)中我們給出了實指數(shù)冪的定義，從而將指數(shù)函數(shù)y=ax(a0,a185。1)的定義域拓廣到整個實數(shù)集R．下面證明指數(shù)函數(shù)在R上的嚴格單調(diào)性．例6 證明：，y=ax當a1時在R上嚴格增；當0證設(shè)a1．給定x1,x2206。R,x1，可取到有理數(shù)r1,r2，使x1r1r2x2，故有ax1=x sup{ar|r為有理數(shù)}163。arar2163。sup{ar|r為有理數(shù)}=ax2，1rx1rx2這就證明了a當0a1時在R上嚴格遞增．注由例6及定理1．2還可得出結(jié)論：對數(shù)函數(shù)y=log嚴格遞增，當0三奇函數(shù)和偶函數(shù)定義4設(shè)D為對稱于原點的數(shù)集，f為定義在D上的函數(shù)．若對每一個x206。D，有f(x)=f(x)(f(x)=f(x))，ax當a1時在(0，+165。)上則稱f為D上的奇(偶)函數(shù)．從函數(shù)圖形上看，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象則關(guān)于y軸對稱．例如，正弦函數(shù)y=sinx和正切函數(shù)y=tanx工是奇函數(shù)，余弦函數(shù)y=cosx是偶函數(shù)，符號函數(shù)y=sgnx是奇函數(shù)(見圖1—1)．而函數(shù)f(x)= sinx+cosx既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，因若取x0=p4，則f(x0)=2，f(x0)=0，顯然既不成立f(x0)=f(x0)，也不成立f(x0)=f(x0)．四周期函數(shù)設(shè)f為定義在數(shù)集D上的函數(shù)．若存在s0，使得對一切x206。D有f(x177。s)=f(x)，則稱f為周期函數(shù)，s稱為f的一個周期．顯然，若s為f的周期，則ns(n為正整數(shù))也是f的周期．若在周期函數(shù)f的所有周期中有一個最小的周期，則稱此最小周期為f的基本周期，或簡稱周期．167。例如，sinx的周期為2p，tanx的周期為p．函數(shù) f(x)=x[x],x206。R的周期為1(見圖1—4)． 常量函數(shù)f(x)=c 是以任何正數(shù)為周期的周期函數(shù)，但不存在基本周期.(Dirichl)et第四篇：數(shù)學課程與教學論數(shù)學課程與教學論教學目的: 通過本章的教學使學生掌握中學數(shù)學教育學的研究對象、內(nèi)容及其學習該學科的意義，:為什么要開設(shè)數(shù)學課程與教學論課。如何學習數(shù)學課程與教學論。教學重、難點: 數(shù)學課程與教學論的研究對象、內(nèi)容及其學習該學科的意義為本章的重點。它對中學數(shù)學教學的指導性作用為本章難點。教學方法: 講解法 教學過程: 數(shù)學課程與教學論是高等師范院校數(shù)學教育專業(yè)的一門必修課。它以黨的教育方針為依據(jù)，以辯證唯物主義為指導，根據(jù)中學生個性心理特點的發(fā)展，把專業(yè)知識和教育學、心理學、科學方法論等學科知識與數(shù)學教學中的各種問題有機結(jié)合，系統(tǒng)研究數(shù)學課程在整個基礎(chǔ)教育中的地位和作用，以及數(shù)學教學過程的基本規(guī)律及應(yīng)用。本章要解決的是五個問題:為什么要開設(shè)數(shù)學課程與教學論課。數(shù)學課程與教學論的研究對象。數(shù)學課程與教學論的特點。數(shù)學教學系統(tǒng)。數(shù)學課程與教學論的研究方法。167。 為什么要開設(shè)數(shù)學課程與教學論數(shù)學課程與教學論是高等師范院校數(shù)學教育專業(yè)的一門必修課當代的數(shù)學教師，不論是初中的、高中的還是大學的數(shù)學教師，都必須具備現(xiàn)代教育的思想和方法，它包括: 以人為本的現(xiàn)代教育理念、全面的教育質(zhì)量觀、多元的人才觀、立體的教學觀、課堂教學的多功能觀、符合時代特征的學生觀，以及現(xiàn)代教育技術(shù)和手段的掌握和運用。很難想象，一個不懂得教學理論和教學方法的教師，他會根據(jù)學生的認知水平進行“換位思考”，會充分發(fā)揮學生學習的主體作用使課堂教學生動活潑，會使數(shù)學教科書中各種靜態(tài)的知識達到動態(tài)、發(fā)展的境地，從而使講授的內(nèi)容顯得通俗易懂、簡單明了。正因為如此，人們把數(shù)學教育專業(yè)的合格畢業(yè)生的知識結(jié)構(gòu)描述為:具備一定深度的物理學科知識和教育學、心理學、教學法等知識，并使這些知識組合成一個有機的整體結(jié)構(gòu)。，有助于解決數(shù)學教學低效率問題。長期以來，在應(yīng)試教育的影響下，我們教師中的不少人，把自己和他所教的學生訓練成應(yīng)考的機器。一切為了考試，可以不尊重學生的個性，不講教學藝術(shù)。照本宣科滿堂灌的、大搞題海戰(zhàn)術(shù)的、不動手去做而只在黑板上畫實驗講實驗的??這種既耗費師生精力和時間，也難以讓師生都體驗其中樂趣的教學，效率是相當?shù)偷摹?shù)學課程與教學論，其基本內(nèi)容來源于數(shù)學教學的實踐，其中許多觀點、方法都是多年來活躍在教學第一線的數(shù)學教師們通過教學實踐總結(jié)出來的。而不少的理論又汲取了教育學、心理學的研究成果，再把它們與數(shù)學教學的具體內(nèi)容及過程結(jié)合起來，使之更具針對性和適用性。通過《數(shù)學課程與教學論》 的學習，我們可以找到造成數(shù)學教學低效率的各種原因，理出一些教學改革的思路來。，是倡導素質(zhì)教育的需要針對應(yīng)試教育存在的各種弊端，從20世紀90年代開始，我國就提出素質(zhì)教育的主張，特別是在《中國教育改革和發(fā)展綱要》中強調(diào)基礎(chǔ)教育要由應(yīng)試教育向素質(zhì)教育轉(zhuǎn)變，并指出，我們的學校教育應(yīng)該是面向全體學生，全面提高學生的思想道德、文化科學、勞動技能和身體心理素質(zhì)，促進學生生動活潑地發(fā)展。數(shù)學課程與教學論把研究和遵循認知規(guī)律、教育規(guī)律，追求教育思想、教學內(nèi)容和教學方法的科學性放在第一位，在內(nèi)容的選取、問題的提出、理論的建立等方面，都力求突出上邊的“兩全一化”，因而是符合當今倡導的素質(zhì)教育的精神的。鑒于上述分析，我們說:數(shù)學課程與教學論是一門不可或缺的高等師范院校數(shù)學教育專業(yè)的必修課。學習要求:(1)明確數(shù)學教學的目的和任務(wù)以及數(shù)學課程與教學論的基本精神，理解數(shù)學教學的基本理論，掌握數(shù)學教學過程的一般規(guī)律和方法。(2)掌握分析和處理中學數(shù)學教材的基本方法，并具備一定選擇教材內(nèi)容、教學模式和教學方法的能力。(3)具備一定的創(chuàng)新意識和研究數(shù)學教學法(包括實驗教學法)的能力，以適應(yīng)未來數(shù)學教育、教學的需要(4)具備辯證唯物主義的教育觀和素質(zhì)教育的新理念，具有良好的師德、高度的責任感和扎實的數(shù)學教師職業(yè)知識與技能，符合各地各類學校對數(shù)學教師的要求。167。 數(shù)學課程與教學論是研究中學教育系統(tǒng)中的數(shù)學教育現(xiàn)象、揭示數(shù)學教育規(guī)律的一門科學。數(shù)學課程與教學論研究的對象是中學數(shù)學教學。因此，它必須研究中學數(shù)學教學中的教學過程、學生的學習過程及教材，當然還要涉及到其它直接相關(guān)的內(nèi)容。一、數(shù)學課程與教學論的內(nèi)容和要求歷年來，在高等師范院校數(shù)學教育專業(yè)開設(shè)的課程及采用的教材一般稱之“教材教法”或“教學法”，它們多以數(shù)學教學過程中教師的工作方式、方法為主要研究對象，往往是建立在教學經(jīng)驗總結(jié)的基礎(chǔ)上，以“怎樣教”的研究為核心，著重研究數(shù)學教學過程中的具體方法。隨著教育、教學改革的深入，人們越來越清醒地認識到:應(yīng)當利用現(xiàn)代教育理論中許多新成果來豐富我們原有的內(nèi)容，上升為比較系統(tǒng)而嚴謹?shù)闹R體系，以達到引領(lǐng)中學數(shù)學課程教學改革的目的?！稊?shù)學課程與教學論》正是在這樣的背景下，邁出探索性的一步。它以數(shù)學教學過程、學生的學習過程及教材為主要研究對象，既研究過程中教師的教，也研究過程中學生的學。以教育學、心理學、邏輯學、思維科學、科學方法論、數(shù)學教育等方面的有關(guān)理論、思想和方法為主體，現(xiàn)代數(shù)學教學的方法為核心，提高數(shù)學教學能力為目的，力求融理論、方法和技能為一體，相互聯(lián)系又各有側(cè)重。突出一般教學理論在數(shù)學教育中新