143因式分解教學設計教案（大全）-文庫吧
2024-11-16 01:29 本頁面
【正文】 ax2+bxy+cy2+dx+ey+f進行因式分解的步驟是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一個十字相乘圖(有兩列)；(2)把常數(shù)項f分解成兩個因式填在第三列上，要求第二、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的ey，第一、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的dx．例1 分解因式：(1)x23xy10y2+x+9y2；(2)x2y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+xy2；(4)6x27xy3y2xz+7yz2z2．解(1)原式=(x5y+2)(x+2y1)．(2)原式=(x+y+1)(xy+4)．(3)原式中缺x2項，可把這一項的系數(shù)看成0來分解．原式=(y+1)(x+y2)．(4)原式=(2x3y+z)(3x+y2z)．說明(4)中有三個字母，解法仍與前面的類似．2．求根法我們把形如anxn+an1xn1+…+a1x+a0(n為非負整數(shù))的代數(shù)式稱為關于x的一元多項式，并用f(x)，g(x)，…等記號表示，如f(x)=x23x+2，g(x)=x5+x2+6，…，當x=a時，多項式f(x)的值用f(a)表示．如對上面的多項式f(x)f(1)=1231+2=0；f(2)=(2)23(2)+2=12．若f(a)=0，則稱a為多項式f(x)的一個根．定理1(因式定理)若a是一元多項式f(x)的根，即f(a)=0成立，則多項式f(x)有一個因式xa．根據(jù)因式定理，找出一元多項式f(x)的一次因式的關鍵是求多項式f(x)的根．對于任意多項式f(x)，要求出它的根是沒有一般方法的，然而當多項式f(x)的系數(shù)都是整數(shù)時，即整系數(shù)多項式時，經(jīng)常用下面的定理來判定它是否有有理根．定理2 的根，則必有p是a0的約數(shù)，q是an的約數(shù)．特別地，當a0=1時，整系數(shù)多項式f(x)的整數(shù)根均為an的約數(shù)．我們根據(jù)上述定理，用求多項式的根來確定多項式的一次因式，從而對多項式進行因式分解．例2 分解因式：x34x2+6x4．分析 這是一個整系數(shù)一元多項式，原式若有整數(shù)根，必是4的約數(shù)，逐個檢驗4的約數(shù)：177。1，177。2，177。4，只有f(2)=23422+624=0，即x=2是原式的一個根，所以根據(jù)定理1，原式必有因式x2．解法1 用分組分解法，使每組都有因式(x2)．原式=(x32x2)(2x24x)+(2x4)=x2(x2)2x(x2)+2(x2)=(x2)(x22x+2)．解法2 用多項式除法，將原式除以(x2)，所以原式=(x2)(x22x+2)．說明 在上述解法中，特別要注意的是多項式的有理根一定是4的約數(shù)，反之不成立，即4的約數(shù)不一定是多項式的根．因此，必須對4的約數(shù)逐個代入多項式進行驗證．例3 分解因式：9x43x3+7x23x2．分析 因為9的約數(shù)有177。1，177。3，177。9；2的約數(shù)有177。1，177。為：所以，原式有因式9x23x2．解 9x43x3+7x23x2=9x43x32x2+9x23x2=x2(9x33x2)+9x23x2=(9x23x2)(x2+1)=(3x+1)(3x2)(x2+1)說明 若整系數(shù)多項式有分數(shù)根，可將所得出的含有分數(shù)的因式化為整系數(shù)因式，如上題中的因式可以化為9x23x2，這樣可以簡化分解過程．總之，對一元高次多項式f(x)，如果能找到一個一次因式(xa)，那么f(x)就可以分解為(xa)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多項式，這樣，我們就可以繼續(xù)對g(x)進行分解了．3．待定系數(shù)法待定系數(shù)法是數(shù)學中的一種重要的解題方法，應用很廣泛，這里介紹它在因式分解中的應用．在因式分解時，一些多項式經(jīng)過分析，可以斷定它能分解成某幾個因式，但這幾個因式中的某些系數(shù)尚未確定，這時可以用一些字母來表示待定的系數(shù)．由于該多項式等于這幾個因式的乘積，根據(jù)多項式恒等的性質(zhì)，兩邊對應項系數(shù)應該相等，或取多項式中原有字母的幾個特殊值，列出關于待定系數(shù)的方程(或方程組)，解出待定字母系數(shù)的值，這種因式分解的方法叫作待定系數(shù)法．例4 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．分析 由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y
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