20xx新人教a版高中數(shù)學(xué)必修一131第2課時函數(shù)的最值學(xué)案-文庫吧
2024-11-17 21:19 本頁面
【正文】 0， ∴ f(x2)－ f(x1)0. ∴ f(x2)f(x1)． ∴ f(x)＝ xx－ 1在區(qū)間 [2,5]上是單調(diào)減函數(shù)． ∴ f(x)max＝ f(2)＝ 22－ 1＝ 2， f(x)min＝ f(5)＝ 55－ 1＝ 54. 規(guī)律方法 無法作出時，往往運用函數(shù)單調(diào)性求最值． 2．函數(shù)的最值與單調(diào)性的關(guān)系： (1)若函數(shù)在閉區(qū)間 [a， b]上是減函數(shù)，則 f(x)在 [a， b]上的最大值為 f(a)，最小值為 f(b)；(2)若函數(shù)在閉區(qū)間 [a， b]上是增函數(shù)，則 f(x)在 [a， b]上的最大值為 f(b)，最小值為f(a)． (3)求最值時一定要注意所給區(qū)間的開閉，若是開區(qū)間，則不一定有最大 (小 )值． 跟蹤演練 2 已知函數(shù) f(x)＝ x＋ 1x. (1)求證 f(x)在 [1，＋ ∞) 上是增函數(shù)； (2)求 f(x)在 [1,4]上的最大值及最小值 ． (1)證明 設(shè) 1≤ x1＜ x2， 則 f(x1)－ f(x2)＝ (x1＋ 1x1)－ (x2＋ 1x2) ＝ (x1－ x2) x1x2－ 1x1x2. ∵1≤ x1＜ x2， ∴ x1－ x2＜ 0， x1x2＞ 1， ∴ x1x2－ 1＞ 0， ∴ f(x1)－ f(x2)＜ 0，即 f(x1)＜ f(x2)． ∴ f(x)在 [1，＋ ∞) 上是增函數(shù)． (2)解 由 (1)可知， f(x)在 [1,4]上遞增， ∴ 當(dāng) x＝ 1 時， f(x)min＝ f(1)＝ 2， 當(dāng) x＝ 4 時， f(x)max＝ f(4)＝ 174. 綜上所述， f(x)在 [1,4]上的最大值是 174 ，最小值是 2. 要點三 函數(shù)最值的實際應(yīng)用 例 3 某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為 20 000 元，每生產(chǎn)一臺儀器需增加投入 100 元，已知總收益滿足函數(shù)： R(x)＝????? 400x－ 12x2 x ，80 000 x＞其中 x 是儀器的月產(chǎn)量． (1)將利潤表示為月產(chǎn)量的函數(shù) f(x)； (2)當(dāng)月產(chǎn)量為何值時，公司所獲 利潤最大？最大利潤為多少元？ (總收益＝總成本＋利潤 ) 解 (1)設(shè)月產(chǎn)量為 x臺，則總成本為 20 000＋ 100x， 從而 f(x)＝????? － 12x2＋ 300x－ x ，60 000－ 100x x＞ (2)當(dāng) 0≤ x≤400 時， f(x)＝－ 12(x－ 300)2＋ 25 000； ∴ 當(dāng) x＝ 300 時， f(x)max＝ 25 000， 當(dāng) x＞ 400 時， f(x)＝ 60 000－ 100x是減函 數(shù)， f(x)＜ 60 000－ 100400 ＜ 25 000. ∴ 當(dāng) x＝ 300 時 ， f(x)max＝ 25 000. 即每月生產(chǎn) 300 臺儀器時利潤最大，最大利潤為 25 000 元． 規(guī)律方法 ，從實際出發(fā)，引入數(shù)學(xué)符號，建立數(shù)學(xué)模型，列出函數(shù)關(guān)系式，分析函數(shù)的性質(zhì)，從而解決問題，要注意自變量的取值范圍． 2．實際應(yīng)用問題中，最大利潤、用料最省等問題常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值來解決，本題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，利用配方法和分類討論思想使問題得到解決． 跟蹤演練 3 將進(jìn)貨單價為 40 元的商品按 50 元一個 出售時，能賣出 500 個，已知這種商品每漲價 1 元，其銷售量就減少 10個，為得到最大利潤，售價應(yīng)為
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