20xx新人教a版高中數(shù)學(xué)必修一132奇偶性學(xué)案-文庫吧
2024-11-17 21:19 本頁面
【正文】 4 (2)若 f(x)＝ ax2＋ bx＋ c(a≠0) 是偶函數(shù)，則 g(x)＝ ax3＋ bx2＋ cx 是 ( ) A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．非奇非偶函數(shù) D．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) 答案 (1)C (2)A 解析 (1)A、 D兩項，函數(shù)均為偶函數(shù)， B項中函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，而 C項中 函數(shù)為奇函數(shù)． (2)∵ f(x)＝ ax2＋ bx＋ c 是偶函數(shù)， ∴ f(－ x)＝ f(x)，得 b＝ 0.∴ g(x)＝ ax3＋ cx. ∴ g(－ x)＝ a(－ x) 3＋ c(－ x)＝－ g(x)， ∴ g(x)為奇函數(shù)． 要點二 利用函數(shù)奇偶性研究函數(shù)的圖象 例 2 已知奇函數(shù) f(x)的定義域為 [－ 5,5]，且在區(qū)間 [0,5]上的圖象如下圖所示，則使函數(shù)值y0 的 x 的取值集合為 ________． 答案 (－ 2,0)∪(2,5) 解析 因為函數(shù) f(x)是奇函數(shù)，所以 y＝ f(x)在 [－ 5,5]上的圖象關(guān)于原點對稱．由 y＝ f(x)在[0,5]上的圖象，可知它在 [－ 5,0]上的圖象，如下圖所示．由圖象知，使函數(shù)值 y0的 x的取值集合為 (－ 2,0)∪(2,5) ． 規(guī)律方法 給出奇函數(shù)或偶函數(shù)在 y 軸一側(cè)的圖象，根 據(jù)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于 y軸對稱，可以作出函數(shù)在 y軸另一側(cè)的圖象．作對稱圖象時，可以先從點的對稱出發(fā)，點 (x0， y0)關(guān)于原點的對稱點為 (－ x0，－ y0)，關(guān)于 y 軸的對稱點為 (－ x0， y0)． 跟蹤演練 2 設(shè)偶函數(shù) f(x)的定義域為 [－ 5,5]，若當 x∈[0,5] 時， f(x)的圖象如圖所示，則不等式 f(x)＜ 0 的解集是 ________________________． 答案 {x|－ 5≤ x＜－ 2，或 2＜ x≤5} 解析 由于偶函數(shù)的圖象關(guān)于 y 軸對稱，所以可根據(jù)對稱性確定不等式 f(x)＜ 0 的解． ∵ 當 x∈[0,5] 時， f(x)＜ 0的解為 2＜ x≤5 ， 所以當 x∈[ － 5,0]時， f(x)＜ 0的解為－ 5≤ x＜－ 2. ∴ f(x)＜ 0的解是－ 5≤ x＜－ 2 或 2＜ x≤5. 要點三 利用函數(shù)的奇偶性求解析式 例 3 已知函數(shù) f(x)(x∈ R)是奇函數(shù)，且當 x＞ 0時， f(x)＝ 2x－ 1，求函數(shù) f(x)的解析式． 解 當 x＜ 0，－ x＞ 0， ∴ f(－ x)＝ 2(－ x)－ 1＝－ 2x－ 1. 又 ∵ f(x)是奇函數(shù)， ∴ f(－ x)＝－ f(x)， ∴ f(x)＝ 2x＋ f(x)(x∈ R)是奇函數(shù)， ∴ f(－ 0)＝－ f(0)，即 f(0)＝ 0. ∴ 所求函數(shù)的解析式為 f(x)＝????? 2x－ 1， x＞ 0，0， x＝ 0，2x＋ 1， x＜ 0. 規(guī)律方法 R 的條件，漏掉 x＝ 0 的情形．若函數(shù) f(x)的定義域內(nèi)含 0 且為奇函數(shù)，則必有 f(0)＝ 0. 2．利用奇偶性求解析式的思路： (1)在待求解析式的區(qū)間內(nèi) 設(shè) x，則－ x 在已知解析式的區(qū)間內(nèi)； (2)利用已知區(qū)間的解析式進行代入； (3)利用 f(x)的奇偶性，求待求區(qū)間上的解析式． 跟蹤演練 3 (1)已知函數(shù) f(x)是定義在 R 上的偶函數(shù)， x≥0 時， f(x)＝ x2－ 2x，則函數(shù) f(x)在 R 上的解析式是 ( ) A． f(x)＝－ x(x－ 2) B． f(x)＝ x(|x|－ 2) C． f(x)＝ |x|(x－ 2)
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