蘇教版必修4高中數(shù)學(xué)24《向量的數(shù)量積》練習(xí)（含解析）-文庫吧
2025-11-01 10:15 本頁面
【正文】 s θ )叫做 向量 a在 b方向上 (b在 a方向上 )的投影． 特別提示： (1)當(dāng) 0≤ θ ＜ π2 時(shí) ， cos θ ＞ 0， 從而 a178。 b＞ 0；當(dāng) π2 ＜ 0≤ π 時(shí) ， cos θ ＜0， 從而 a178。 b＜ 0；當(dāng) θ ＝ π2 時(shí) ， cos θ ＝ 0， 從而 a178。 b＝ 0. (2)數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積 a178。 b等于 a的長(zhǎng)度 |a|與 b在 a的方向上的投影 |b|cos θ的乘積．這個(gè)投影值可正可負(fù)也可為零 ， 所以我們說向量的數(shù)量積的結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù)． 數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算律 1． 數(shù)量積的重要性質(zhì)． 設(shè) a與 b都是非零向量 ， e是單位向量 ，θ 是 a與 e的夾角． (1)e178。 a＝ a178。 e＝ |a|cos θ ； (2)a⊥ b?a178。 b＝ 0； (3)當(dāng) a與 b同向時(shí) ， a178。 b＝ |a|178。| b|； 當(dāng) a與 b反向時(shí) ， a178。 b＝－ |a|178。| b|； 特別地 ， a178。 a＝ |a|2或 |a|＝ a178。 a＝ a2， a178。 a也可記作 a2. (4)|a178。 b|≤| a|178。| b|. 2． 數(shù)量積的運(yùn)算律． 已知 a， b， c和實(shí)數(shù) λ ， 則向量的數(shù)量積滿足下列運(yùn)算律： (1)a178。 b＝ b178。 a(交換律 )； (2)(λa )178。 b＝ a178。 (λ b)＝ λ (a178。 b)＝ λa 178。 b(數(shù)乘結(jié)合律 )； (3)(a＋ b)178。 c＝ a178。 c＋ b178。 c(分配律 )． 說明： (1)當(dāng) a≠0 時(shí) ， 由 a178。 b＝ 0不能推出 b一定是零向量．這是因?yàn)槿我慌c a垂直的非零向量 b， 都有 a178。 b＝ 0. (2)已知實(shí)數(shù) a、 b、 c(b≠0) ， 則 ab＝ bc?a＝ ， 該推理不正確 ， 即a178。 b＝ b178。 c不 能推出 a＝ ， 雖然 a178。 b＝ b178。 c， 但 a≠ c. (3)對(duì)于實(shí)數(shù) a、 b、 c， 有 (a178。 b)c＝ a(b178。 c)；但對(duì)于向量 a、 b、 c而言 ， (a178。 b)c＝ a(b178。 c)未必成立．這是因?yàn)?(a178。 b)c 表示一個(gè)與 c 共線的向量 ， 而 a(b178。 c)表示一個(gè)與 a共線的向量 ， 而 c與 a不一定共線 ， 所以 (a178。 b)c＝ a(b178。 c)未必成 立． 向量的模 設(shè) a＝ (x， y)， |a|2＝ a178。 a＝ (x， y)178。( x， y)＝ x2＋ y2， 故 |a|＝ x2＋ y2， 即向量的長(zhǎng)度(模 )等于它的坐標(biāo)平方和的算術(shù)平方根．設(shè) A(x1， y1)， B(x2， y2)， 則 AB→ ＝ (x2－ x1， y2－ y1)，|AB→ |＝ （ x2－ x1） 2＋（ y2－ y1） ， 與解析幾何中的距離公式完全一致． 向量的夾角 設(shè) a＝ (x1， y1)， b＝ (x2， y2)， 其夾角為 θ ， 則 a178。 b＝ x1x2＋ y1y2或 a178。 b＝ |a||b|cos θ ＝ x21＋ y21 x22＋ y22cos θ ， 故 cos θ ＝ x1x2＋ y1y2x21＋ y21 x22＋ y22， 當(dāng) θ ＝ 90176。 時(shí) ， cos θ ＝ 0， 即 x1x2＋ y1y2＝ 0，
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