高中數(shù)學(xué)人教b版必修五第2章《數(shù)列》word學(xué)案-文庫吧
2025-10-16 23:20 本頁面
【正文】 3＋ … ＋ ?? ??12 n ＝ 1－ ?? ??12 n. ∴ an＝ 1bn＝ 11－ ?? ??12 n＝ 2n2n－ 1. 例 2 在數(shù)列 {an}中 ， an＋ 1＝ 3a2n， a1＝ an. 解 由已知， an0，對 an＋ 1＝ 3a2n兩邊取常用對數(shù)得： lg an＋ 1＝ 2lg an＋ lg 3. 令 bn＝ lg bn＋ 1＝ 2bn＋ lg 3. ∴ bn＋ 1＋ lg 3＝ 2(bn＋ lg 3)． ∴ {bn＋ lg 3}是等比數(shù)列， 首項是 b1＋ lg 3＝ lg 3＋ lg 3＝ 2lg 3. ∴ bn＋ lg 3＝ 2n－ 1(b1＋ lg 3)＝ 2nlg 3. ∴ bn＝ (2n－ 1)lg 3＝ lg 32n－ 1＝ lg an. ∴ an＝ 32n－ 1. 二、運用恒等變形求數(shù)列前 n 項和 例 3 已知數(shù)列 {an}的各項均為正數(shù) ， Sn為其前 n 項和 ， 對于任意的 n∈ N*滿足 2Sn＝3an－ 3. (1)求數(shù)列 {an}的通項公式 ； (2)設(shè)數(shù)列 {bn}的通項公式是 bn＝ 1log3anlog3an＋ 1， 前 n 項和為 Tn， 求證 ： 對于任意的正數(shù) n， 總有 Tn1. (1)解 由已 知得????? 2Sn＝ 3an－ 3，2Sn－ 1＝ 3an－ 1－ 3 (n≥ 2)． 故 2(Sn－ Sn－ 1)＝ 2an＝ 3an－ 3an－ 1， 即 an＝ 3an－ 1 (n≥ 2)． 故數(shù)列 {an}為等比數(shù)列，且 q＝ 3. 又當(dāng) n＝ 1 時， 2a1＝ 3a1－ 3， ∴ a1＝ 3.∴ an＝ 3n. (2)證明 bn＝ 1n?n＋ 1?＝ 1n－ 1n＋ 1. ∴ Tn＝ b1＋ b2＋ … ＋ bn ＝ ?? ??1－ 12 ＋ ?? ??12－ 13 ＋ … ＋ ?? ??1n－ 1n＋ 1 ＝ 1－ 1n＋ 11. 例 4 已知數(shù)列 {an}的前 n項和 Sn， 對一切正整數(shù) n， 點 (n， Sn)都在函數(shù) f(x)＝ 2x＋ 2－ 4的圖象上 ． (1)求數(shù)列 {an}的通項公式 ； (2)設(shè) bn＝ anlog2an， 求數(shù)列 {bn}的前 n 項和 Tn. 解 (1)由題意， Sn＝ 2n＋ 2－ 4， n≥ 2 時， an＝ Sn－ Sn－ 1＝ 2n＋ 2－ 2n＋ 1＝ 2n＋ 1， 當(dāng) n＝ 1 時， a1＝ S1＝ 23－ 4＝ 4，也適合上式， ∴ 數(shù)列 {an}的通項公式為 an＝ 2n＋ 1， n∈ N*. (2)∵ bn＝ anlog2an＝ (n＋ 1)2 n＋ 1， ∴ Tn＝ 222＋ 323＋ 424＋ … ＋ n2 n＋ (n＋ 1)2 n＋ 1， ① 2Tn＝ 223＋ 324＋ 41
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