【正文】 ， ， ， )]11[ ] [ ] [ ] [ ] 0 [ ]c bda b c d a b c ddc? ? ? ? ?， ， ， ， ， ，運 算 律 ： 交 換 律 、 結(jié) 合 律 和 次 分 配 律 成 立 。例 4:證明 30)4(16)7()(?????? xxxxxf在區(qū)間 [8， 10] 上沒有根。 解： 把 x=[8， 10]代入函數(shù) f，可得： f([8,10])=[8,10]([8,10][7,7])[6,6] ??=[,], 0 ? [,]. [ 0 1 ] [ 0 1 ] [ 0 2 ] [ 0 1 ] [ 0 1 ] [ 1 1 ][ 0 1 ] [ 0 1 ] [m i n ( 0 0 0 1 ) max ( 0 0 0 1 )] [ 0 1 ]1 1 1 1[ 1 2 ] [ 1 2 ] [ 1 2 ] [ 1 ] [m i n ( 1 1 2 ) max ( 1 1 2 )] [ 2 ]2 2 23 2? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?， ， ， ； ， ， ， ；， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，例 ：? ?? ?[ 0 1 ] ( ) ( ( ) )( ) ( ( ) ( ) )1 1 2 312 1 12I J I JI J I Jx y zI J I Jxxz x yX N IJ???? ? ?? ? ?????????? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ?? ? ? ?? ? ?，兩 個 模 糊 數(shù) 和 的 運 算 仍 是 一 個 模 糊 數(shù)（ ， ， ， ） ， 其 隸 屬 函 數(shù) 定 義 為由 多 元 擴 展 原 理 即 可 得 。設 ， ， ，性 質(zhì) ：（ 3 ） 模 糊 數(shù) 的 運5 ，證，例算：：3IJ?， 求 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 1 2 3 4 5 1 2 3 4 51 2 3IJ ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?模 糊 加 模 糊 等 于解 ：義 ： 模 糊意 。? ?( ) ( ) ( ) ( 0) 1 [ 0 )()( ) m a x 0 1 ( 0)1 ( ) e xp( ) ( 0)3ppL x L x L x L LLLxL x x ppLxRxp? ? ? ? ?? ? ? ???????若 函 數(shù) 滿 足 ： ； ； 在 ，非 增 ， 則 稱 為 模 糊 數(shù) 的 參 照 函 數(shù) （ 基 準 函例數(shù) ） 。， ， ， 當（ 1 ） 模 糊 數(shù) 的 參如 ：時 ， 圖 形 如 下 ：、 型 模 糊 數(shù)函 照 數(shù)( ) 0 ( )(0))2)((ILRLRL R ImxL x m aaxxmR x m bbI L R I m a b m Iaba b I m a m aLR???????? ???????????設 和 為 模 糊 數(shù) 的 參 照 函 數(shù) ， 若 模 糊 數(shù) 的 隸 屬 函 數(shù) 為， ， ，則 稱 為 型 模 糊 數(shù) ， 記 為 ， ， 。 稱 為 的最 可 能 值 （ 或 均 值 ） ， ， 分 別 稱 為 左 、 右 基 準 值 或 擴展 值 。 若 對 稱 ， 即 ，（ ） － 型 模則 可 記 為 ， （數(shù)或 ， ）糊。mma? mb?1 1 2 21 2 1 2221 2 1 2( ) ( )()()()0 0 0 1( ) 1LR LRII m a b J n a bI J m n a a b bJ n a bI J m n a a b bL R L RIJxxxx???? ? ? ?? ? ?? ? ? ?????運 算 ： 設 ， ， ， ， ， ， 則 ， + ， ， ， ， + ，兩 個 型 模 糊 數(shù) 相 乘 ， 所 得 不 再 是 型 模 糊 數(shù) 。已 知 模 糊 數(shù) 與 的 隸 屬 函 數(shù) 為 ：注 ：例 6 ：0 22 2 3 1 ( ) 1 32 1 2 4 3 40 2 0 4Jxxxx x xx x x xxxIJ??????? ? ???? ? ?????? ? ? ? ? ??????????求 。( 1 3 1 1 1 1 ) ( 4 2 2) 0 22 2 42 ( ) 1 4 6 4 62 0 6IJIJxxxxxxxx??? ? ? ? ? ?????? ?????????? ???? ??， ，解 ： ， ，10 32 4 5 61() [ ] ( ) [ ] 0 ( ) ( )()IL R Ixlx l mmlxux x m umux l uI l uI l m u???????????????? ?? ? ?????若 型 模 糊 數(shù) 的 隸 屬 函 數(shù)，， ，則 稱 為 三 角 模 糊 數(shù) ， 和 分 別 稱 為 下 、 上 界 。記 為 ， ， 。例 6 中 的 兩 個 模 糊 數(shù) 均（ 3 ） 三 角 模 糊 數(shù)為 三 角 模 糊 數(shù) 。對稱的三角模糊數(shù) [ ] ( ) [ ] 0 ( ) ( )1 , [ ]()0,IIIxlx l mmlxux x m umux l um l u m Ixmx m l m lx l???????????????? ?? ? ????????? ? ? ??????在 三 角 模 糊 數(shù) 的 隸 屬 函 數(shù)，， ，中 ， , 即 左 右 擴 展 半 徑 相 同 ， 則 稱 為對 稱 的 三 角 模 糊 數(shù) ， 也 可 記 為，其 他1 1 11 2 1 2 1 21 2 1 2 1 21 1 111 1 11 1 1()()()1 1 1()l n ( l n l n l n )()l m uII J l l m m u uI J l l m m u uI l m uIu m lI l m ue e e e? ? ? ??? ? ? ? ???????由 擴 張 原 理 可 得 三 角 模 糊 數(shù) 的 運 算 如 下 ：（ 其 中 有 些 是 近 似 式 ）加 法 ： ， ，乘 法 ： ， ，數(shù) 乘 ： ， ，倒 數(shù) ： ， ，對 數(shù) ： ， ，指 數(shù) ： ， ，? ? ? ?1 2 81 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8()XAAxxAXA xxx? ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?1978 年 ， 扎 德 提 出 了 “ 可 能 性 理 論 ” ， 被 稱 為 模 糊 數(shù)學 發(fā) 展 的 第 三 個 里 程 碑 。 摘 錄 當 時 扎 德 文 章 中 的 例 子 ：漢 斯 的 早 餐設 論 域 ， ， ， ， 早 餐 吃 雞 蛋 的 適 當 個 數(shù) ，表 示 漢 斯 早 餐 吃 的 雞 蛋 個 數(shù) ， 則 是 取 值 于 的 變 量四 、 可 能 性 分 布 與 模，記 其 的 程 度 為 ，1 、 隨 機 性 與 可 能 性與 相 容 （ 是糊例 7的 分 布 為 ，另 一）概 率方 面 ，：()Px的 取 值 也 具 有 隨 機 性 ， 記 其 分 布 為 ：x 1 2 3 4 5 6 7 8 π(x) 1 1 1 1 P(x) 0 0 0 0 0 ? ? ? ?()( ) ( )121 1 1 2 3 4 526Ax X A X xA x x AxxX N AA x Xx?????? ? ?? ?? ? ? ? ? ?例 8設 是 在 論 域 中 取 值 的 變 量 ， 是 中 的 模 糊 集 ， 關(guān)于 的 相 容 程 度 稱 為 在 模 糊 約 束 下 的 可 能 性 分布 ， 在 數(shù) 值 上 。， ， ， 小 的 正 整 數(shù) ，設 ， 為 在、中 取 值 的 變量 ， 則 是 小 的 正 整 數(shù) 的 可 能可 能 性 分 布：性 分 布 為 ：x 1 2 3 4 5 6 π(x) 1 1 12( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 3 4()() ( 1 ) ( 1 ) 3nA A i iXiXAXAXP A x dp x P xAAPAPA????? ? ? ?? ? ? ? ???有 限普 通 隨 機 事 件 是 樣 本 空 間 中 的 清 晰 集 。模 糊 事 件 是 中 的 模 糊 集 ， 定 義 其 概 率 ：某 人 射 擊 命 中 率 ， 現(xiàn) 獨 立 向 目 標 射 擊 ， 記 為“ 只 射 了 不 幾 次 就 射 中 目 標 ” ， 設 ，、 模 糊 事 件 的 概 率例 9 ：解 ：求 。3 ( 1 ) 2???XAA[1] 陳 貽 源 ， 模 糊 數(shù) 學 ， 華 中 工 學 院 出 版 社 ， 1984[2] 賀 仲 雄 ， 模 糊 數(shù) 學 及 其 應 用 ， 天 津 科 技 出 版 社 ， 1983[3] 汪 培 莊 ， 模 糊 集 合 論 及 其 應 用 ， 上 海 科 技 出 版 社 ， 1983[4] 張 振 良 ， 應 用 模 糊 數(shù) 學 ， 重 慶 大 學 出 版 社 ， 1991[5] 寺 野 壽 郎 等 ， 劉 維 仲 等 譯 ， 模 糊 系 統(tǒng) 理 論 及 其 應 用 ， 天 津 大 學 出 版 社 ， 1991[6] 彭 祖 贈 等 ， 模 糊 數(shù) 學 及 其 應 用 ， 武 漢 大 學 出 版 社 ， 2023[7] 杜 綱 ， 管 理 數(shù) 學 基 礎 （ 修 訂參 考 書 ：版 ） ， 天 R eFuzzy Se t s and Sy st e m s Europ e an J ourna l ofO pe rat i ona l se arc h可 在 天 大 圖 書 館 的 各 種 數(shù) 據(jù) 庫 如 超 星 、 維 普 、 中 國 期 刊等 網(wǎng) 上 查其 文 獻閱 。他津 大 學 出 版 社 ， 2023[8] 期 刊 ： ， 模 糊 系 統(tǒng) 與 數(shù) 學第二節(jié) 模糊線性規(guī)劃 1111 1 1 1111 m a x m a x 00 nnnnm m n n mnz c x c x z C xa x a x bAx ba x a x b xxxx? ? ? ?? ? ????????? ? ? ???????普 通 線 性 規(guī) 劃 一 般 式或 1()Tnxx實 際 中 可 能 的 ：(1) 約 束 不 等 式 可 有 一 寬 容 度