【正文】 一次碰撞中對(duì) dA的作用結(jié)論：一個(gè)分子在一次碰撞中對(duì) dA 施于的沖量為理想氣體壓強(qiáng)公式的推導(dǎo) dt 時(shí)間內(nèi)所有分子施于 dA的總沖量 dI(1) dt內(nèi)能與 dA相碰，分子速度為 的分子數(shù)(2) dt內(nèi)能與 dA相碰，分子速度為 的分子施于 dA 的沖量(3) dt內(nèi)能與 dA相碰的所有分子施于 dA的總沖量dI（ 4）等幾率假設(shè) — 平衡態(tài)下，分子向各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的幾率均等。壓強(qiáng) （ 1） 的統(tǒng)計(jì)平均值（ 2）等幾率假設(shè) 三、討論 (Disscussion) 是統(tǒng)計(jì)規(guī)律，不是力學(xué)規(guī)律 這個(gè)公式是無(wú)法用實(shí)驗(yàn)證明的， p是宏觀可測(cè)的壓強(qiáng)， n和 都是微觀量的統(tǒng)計(jì)平均值，無(wú)法測(cè)量。這說(shuō)明了宏觀量的微觀本質(zhì) —— 宏觀量是相應(yīng)的微觀量的統(tǒng)計(jì)平均值！ 它不僅對(duì)壓強(qiáng)是這樣，我們以后會(huì)看到其他的熱力學(xué)宏觀量也是這樣，正因?yàn)槿绱?，我們?cè)诙x壓強(qiáng)時(shí)都必須強(qiáng)調(diào)是統(tǒng)計(jì)平均值所以壓強(qiáng)公式不是一個(gè)力學(xué)規(guī)律而是統(tǒng)計(jì)規(guī)律。由這個(gè)基本公式可以滿意的解釋和推證許多實(shí)驗(yàn)定律。一容積為 V= 的容器內(nèi)裝有 N1=1024 個(gè) 氧分子N2=1024 個(gè)氮分子的混合氣體， 混合氣體的壓強(qiáng) p =104 Pa 。 (1) 由壓強(qiáng)公式 , 有例求 (1) 分子的平均平動(dòng)動(dòng)能； (2) 混合氣體的溫度解(2) 由理想氣體的狀態(tài)方程得 167。 溫度的微觀解釋(Microscopic Explanation of Temperature)一、溫度的微觀解釋?是分子雜亂無(wú)章熱運(yùn)動(dòng)的平均平動(dòng)動(dòng)能，它不包括整體定向運(yùn)動(dòng)動(dòng)能。?粒子的平均熱運(yùn)動(dòng)動(dòng)能與粒子質(zhì)量無(wú)關(guān)，而僅與溫度有關(guān)處于平衡時(shí)的理想氣體，分子的平均動(dòng)能與溫度成正比。溫度是表征大量分子熱運(yùn)動(dòng)激烈程度的宏觀物理量，和壓強(qiáng)一樣是統(tǒng)計(jì)量。對(duì)少數(shù)分子，沒(méi)有溫度概念。絕對(duì)溫度是分子熱運(yùn)動(dòng)劇烈程度的度量思考題 ： 怎樣理解一個(gè)分子的平均平動(dòng)動(dòng)能？如果容器內(nèi)僅有一個(gè)分子，能否根據(jù)此式計(jì)算它的動(dòng)能？答：一個(gè)分子的平均平動(dòng)動(dòng)能是一個(gè)統(tǒng)計(jì)平均值，表示了在一定條件下，大量分子作無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)時(shí)，其中任意一個(gè)分子在任意時(shí)刻的平動(dòng)動(dòng)能無(wú)確定的數(shù)值，但在任意一段微觀很長(zhǎng)而宏觀很短的時(shí)間內(nèi)，每個(gè)分子的平均平動(dòng)動(dòng)能都是3/2kT。也可以說(shuō)，大量分子在任一時(shí)刻的平動(dòng)動(dòng)能雖各不相同，但所有分子的平均平動(dòng)動(dòng)能總是 3/2kT。容器內(nèi)有一個(gè)分子，將不遵循大量分子無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，而遵守力學(xué)規(guī)律，這時(shí)溫度沒(méi)有意義，因而不能用w=3/2kT來(lái)計(jì)算它的動(dòng)能。二、基本方程的一些推論(Inference of the Basic Equations)阿伏伽德羅定律 (Avogadro39。s Law)標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下 道耳頓分壓定律設(shè)有幾種不同的氣體，混合地貯在同一容器中，它們的溫度相同。因此三、分子的方均根速率(the Square Root of the Molecular Speeds)分子間的相互作用對(duì)氣體宏觀性質(zhì)的影響實(shí)際上，氣體分子是由電子和帶正電的原子核組成，它們之間存在著相互作用力，稱為分子力。對(duì)于分子力很難用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)公式來(lái)描述。在分子運(yùn)動(dòng)論中，通常在實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上采用簡(jiǎn)化模型。167。 分子力 (Molecular Force)假定分子之間相互作用力為有心力，可用半經(jīng)驗(yàn)公式表示 （ s?t)r ：兩個(gè)分子的中心距離?、 ?、 s、 t ：正數(shù)，由實(shí)驗(yàn)確定。r? r0 —— 斥力 r? r0 —— 引力r? R —— 幾乎無(wú)相互作用 R稱為分子力的有效作用距離R= r0 —— 無(wú)相互作用 r0稱為平衡距離有力心點(diǎn)模型當(dāng)兩個(gè)分子彼此接近到 r? r0時(shí)斥力迅速增大，阻止兩個(gè)分子進(jìn)一步靠近，宛如兩個(gè)分子 都是具有一定大小的球體。有吸引力的剛球模型可簡(jiǎn)化的認(rèn)為，當(dāng)兩個(gè)分子的中心距離達(dá)到某一值 d時(shí)，斥力變?yōu)闊o(wú)窮大，兩個(gè)分子不可能無(wú)限接近，這相當(dāng)于把分子設(shè)想為直徑為 d的剛球， d稱為 分子的有效直徑 。 D ~ 1010m R~幾十倍或幾百倍 d r d 時(shí)分子間有吸引力d0fRr167。 實(shí)際氣體與范德瓦耳斯方程 (Real Gas and Van der Waals Equation一、實(shí)際氣體 (Real Gas)分子體積引起的修正1mol理想氣體的物態(tài)方程 pVm=RT若將分子視為剛球，則每個(gè)分子的自由活動(dòng)空間就不等于容器的體積，而應(yīng)從 Vm中減去一個(gè)修正值 b。理想氣體物態(tài)方程應(yīng)改為 P（ Vmb） =RT可以證明Vm是分子自由活動(dòng)空間，理想氣體分子是沒(méi)有體積的質(zhì)點(diǎn)，故 Vm等于容器的體積。Vm為氣體所占容積， Vmb為分子自由活動(dòng)空間d設(shè)想 ：對(duì)任意一個(gè)分子而言，與它發(fā)生引力作用的分子，都處于以該分子中心為球心、以分子力作用半徑 s 為半徑的球體內(nèi)。此球稱為 分子力作用球 。 處于容器當(dāng)中的分子 ? 周圍的分子相對(duì) ?球?qū)ΨQ分布，對(duì) ?的引力相互抵消。sl 處于器壁附近厚度為 R的表層內(nèi)的分子 ??周圍分子的分布不均勻，使 ?平均起來(lái)受到一個(gè)指向氣體內(nèi)部的合力，所有運(yùn)動(dòng)到器壁附近要與器壁相碰的分子必然通過(guò)此區(qū)域，則指向氣體內(nèi)部的力，將會(huì)減小分子撞擊器壁的動(dòng)量，從而減小對(duì)器壁的沖力。???s分子力修正l處于容器當(dāng)中的分子 ? 平衡態(tài)下，周圍的分子相對(duì)于 ?球?qū)ΨQ分布，它們對(duì) ?的引力平均說(shuō)來(lái)相互抵消。處于器壁附近厚度為 R的表層內(nèi)的分子?周圍分子的分布不均勻，使?平均起來(lái)受到一個(gè)指向氣體內(nèi)部的合力，所有運(yùn)動(dòng)到器壁附近要與器壁相碰的分子必然通過(guò)此區(qū)域，則指向氣體內(nèi)部的力，將會(huì)減小分子撞擊器壁的動(dòng)量，從而減小對(duì)器壁的沖力。這層氣體分子由于受到指向氣體內(nèi)部的力所產(chǎn)生的總效果相當(dāng)于一個(gè)指向內(nèi)部的壓強(qiáng)，叫內(nèi)壓強(qiáng) Pi。R? ?所以，考慮引力作用后，氣體分子實(shí)際作用于器壁并由實(shí)驗(yàn)可測(cè)得的壓強(qiáng)為 pi的相關(guān)因素Pi表面層分子受到內(nèi)部分子的通過(guò)單位面積的作用力與表面層分子（類似 ? ）的數(shù)密度 n 成正比與施加引力的內(nèi)部分子的數(shù)密度 n 成正比范德瓦爾斯方程1 mol氣體的范德瓦耳斯方程 4. 范德瓦耳斯方程的一般形式 式中 ?為摩爾質(zhì)量，將上式代入右式得上式就是質(zhì)量為 M的氣體 范德瓦耳斯方程的一般形式 。式中常量 a和 b與 1 mol氣體的相同?；蛉绻|(zhì)量為 M的氣體的體積為 V，則在相同溫度和壓強(qiáng)下， V與 的關(guān)系為范德瓦耳斯常量 改正量 a和 b稱為范德瓦耳斯常量。對(duì)于一定種類的氣體，范德瓦耳斯常量都有確定的值；對(duì)不同種類的氣體，范德瓦耳斯常量也不同。還必須注意的是， a和 b都應(yīng)由實(shí)驗(yàn)來(lái)確定。 43 二氧化碳 (CO2) 30 水蒸汽 (H2O) 32 氬 (Ar) 32 氧 (O2) 39 氮 (N2) 24 氦 (He) 27 氫 (H2) b /(10?6 m3?mol?1) a /(10?6 atm?m6?mol?2) 氣 體$實(shí)際氣體在很大范圍內(nèi)近似遵守范德瓦爾斯方程。1molN2在等溫壓縮過(guò)程中的實(shí)驗(yàn)值和理論值的比較：$理論上把完全遵守此方程的氣體稱為范德瓦爾斯氣體。實(shí)驗(yàn)值 理論值P(atm) V P V () (P+a/V2)(Vb) ()1 100 500 700 900 1000 例題： 某種氣體在 時(shí)，氣體分子的方均根速率等于它在地球表面上的逃逸速率，（ 1） 求氣體的分子量，并確定它是什么氣體？（ 2） 若使該氣體分子的方均根速率等于它在月球表面上的逃逸速率，試求所需的溫度 。 解：（ 1）由力學(xué)可知，地球表面的逃逸速率由下式確定式中 和 分別為地球的質(zhì)量和平均半徑。故有代入：得：在溫度為 T時(shí)，氣體分子的方均根速率為由此可得 式中為 月球表面的重力加速度， 為月球的半徑。將此數(shù)據(jù)代入，即得所以該氣體是氮?dú)猓?2）由（ 1）可知月球表面的逃逸速度是當(dāng)溫度為 時(shí)，氣體分子的方均根速率等于， 即有 第三章 氣體分子熱運(yùn)動(dòng)速率和能量分布167。 體分子的速率分布律167。 分子射線實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證麥克斯韋速度分布167。 爾茲曼分布率 重力場(chǎng)中微粒按高度的分布167。第一章我們引入了平衡態(tài)和溫度的概念，但在熱力學(xué)范圍內(nèi)不能得到深刻的認(rèn)識(shí)。第二章以分子運(yùn)動(dòng)論為基礎(chǔ)，認(rèn)識(shí)了壓強(qiáng)和溫度的微觀本質(zhì)，對(duì)平衡態(tài)下分子熱運(yùn)動(dòng)的規(guī)律有了初步認(rèn)識(shí)，我們有一個(gè)基本的統(tǒng)計(jì)公理（假設(shè)）。這個(gè)公理只解決了分子熱運(yùn)動(dòng)速度方向的幾率問(wèn)題，并沒(méi)有涉及分子熱運(yùn)動(dòng)速率大小取值的概率，無(wú)法作進(jìn)一步的定量分析。分子熱運(yùn)動(dòng)情況是分子物理的重要研究對(duì)象，我們必須討論速率大小取值的概率問(wèn)題。由于分子數(shù)目如此巨大，速率的取值從 0到 ∞ ，這個(gè)取值區(qū)間非常大，分子在任何一個(gè)微小速率范圍內(nèi)的取值其概率都不會(huì)大，但到底有多小卻不易判斷。所以，這是一個(gè)大數(shù)量偶然微觀運(yùn)動(dòng)的集體效應(yīng)的問(wèn)題，既統(tǒng)計(jì)的問(wèn)題，對(duì)應(yīng)的規(guī)律就是一個(gè)統(tǒng)計(jì)規(guī)律。一般地研究這個(gè)問(wèn)題比較復(fù)雜，我們以理想氣體為基礎(chǔ)來(lái)開(kāi)展討論。 3－ 1 麥克斯韋氣體速率分布律 對(duì)于由大量分子組成的熱力學(xué)系統(tǒng)從微觀上加以研究時(shí)，必須用統(tǒng)計(jì)的方法 . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 小球在伽爾頓板中的分布規(guī)律 . 統(tǒng)計(jì)規(guī)律 當(dāng)小球數(shù) N 足夠大時(shí)小球的分布具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律 .設(shè) 為第 格中的粒子數(shù) . 概率 粒子在第 格中出現(xiàn)的可能性大小 .歸一化條件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 粒子總數(shù)引言：氣體分子處于無(wú)規(guī)則的熱運(yùn)動(dòng)之中，由于碰撞，每個(gè)分子的速度都在不斷地改變，所以在某一時(shí)刻，對(duì)某個(gè)分子來(lái)說(shuō)，其速度的大小和方向完全是偶然的。然而就大量分子整體而言，在一定條件下，分子的速率分布遵守一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律 —— 氣體速率分布律 。氣體分子按速率分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律最早是由 麥克斯韋 于 1859年在概率論的基礎(chǔ)上導(dǎo)出的， 1877年 玻耳茲曼 由經(jīng)典統(tǒng)計(jì)力學(xué)中導(dǎo)出， 1920年 斯特恩 從實(shí)驗(yàn)中證實(shí)了麥克斯韋分子按速率分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。麥克斯韋（ James Clerk Maxwell 1831——1879)19世紀(jì)偉大的英國(guó)物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家。經(jīng)典電磁理論的奠基人，氣體動(dòng)理論的創(chuàng)始人之一。 ?他提出了有旋電場(chǎng)和位移電流概念，建立了經(jīng)典電磁理論，預(yù)言了以光速傳播的電磁波的存在。?1873年，他的《電磁學(xué)通論》問(wèn)世，這是一本劃時(shí)代巨著，它與牛頓時(shí)代的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》并駕齊驅(qū)，它是人類探索電磁規(guī)律的一個(gè)里程碑。?在氣體動(dòng)理論方面，他還提出氣體分子按速率分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。統(tǒng)計(jì)規(guī)律性分子運(yùn)動(dòng)論從物質(zhì)微觀結(jié)構(gòu)出發(fā)，研究大量分子組成的系統(tǒng)的熱性質(zhì)。其中個(gè)別分子的運(yùn)動(dòng)（在動(dòng)力學(xué)支配下）是無(wú)規(guī)則的，存在著極大的偶然性。但是，總體上卻存在著確定的規(guī)律性。（例：理想氣體壓強(qiáng)）人們把這種支配大量粒子綜合性質(zhì)和集體行為的規(guī)律性稱為統(tǒng)計(jì)規(guī)律性速度取向的概率問(wèn)題。速度是矢量，必須解決有關(guān)大小取值的概率問(wèn)題。首先我們?nèi)菀紫氲竭@樣兩個(gè)事實(shí)： 1。由于分子受到頻繁的碰撞，每個(gè)分子熱運(yùn)動(dòng)的速率是變化的，要某一分子具有多大的運(yùn)動(dòng)速率沒(méi)有意義，所以只能估計(jì)在某個(gè)速率間隔內(nèi)出現(xiàn)的概率； 2。哪