spc統(tǒng)計相關知識之回歸分析-文庫吧
2025-02-10 14:44 本頁面
【正文】 數(shù)中的 是隨機變量，其具體數(shù)值隨所抽取的樣本觀測值不同而變動。 ? 總體回歸函數(shù)中的 ut是Ｙ t與未知的總體回歸線之間的縱向距離，它是不可直接觀測的。而樣本回歸函數(shù)中的ｅ t是Ｙ t與樣本回歸線之間的縱向距離，當根據(jù)樣本觀測值擬合出樣本回歸線之后，可以計算出ｅ t的具體數(shù)值。 t21 ?? ??和 誤差項的標準假定 ? 假定１： Ｅ（ ut）＝０ ? 假定２： Var(ut)＝Ｅ（ ）＝ ? 假定３： Cov(utus)＝Ｅ（ utus）＝０ ｔ ≠ｓ ? 假定４：自變量是給定變量，與誤差項線性無關。 ? 假定５：隨機誤差項服從正態(tài)分布。 ? 滿足以上標準假定的一元線性回歸模型，稱為標準的一元線性回歸模型。 2tu2? 二、一元線性回歸模型的估計 ? （一）回歸系數(shù)的估計 最小二乘法 設 將Ｑ對求偏導數(shù)，并令其等于零，可得 : 加以整理后有： ? ? ? ??? 22 )?( ttt YYeQ 221 )??( tt XY ?? ??? ? 0)??(2 21 ＝－ tt XY ?? ?? 0)??(2 21 ???? ttt XYX ??－ ?? ?? tt YXn 21?? ?? ??? ?? tttt YXXX221?? ?? 回歸系數(shù)的最小二乘估計量 ? 以上方程組稱為正規(guī)方程組或標準方程組，式中的ｎ是樣本容量。 ? 求解這一方程組可得： ? ?? ????222 )(?ttttttXXnYXYXn?? ? ???? XYnXnY tt 221 ??? ??? （二）總體方差的估計 ? 上式中，分母是自由度，其中ｎ是樣本觀測值的個數(shù)，２是一元線性回歸方程中回歸系數(shù)的個數(shù)。在一元線性回歸模型中，殘差ｅ t必須滿足 因而失去了兩個自由度，所以其自由度為ｎ－２。 Ｓ 2的正平方根又叫做回歸估計的標準誤差。 S2＝ 22??net ?te ＝０； ttXe?＝０ ??????? ? ?? ? )??(YY ?? )??(t21tt21tt21t2XeXβeβeYeXYetttttt????證明 : 殘差平方和計算 ? 一般采用以下公式計算殘差平方和： （三）最小二乘估計量的性質(zhì) ? 最小二乘估計量是隨機變量。 ? 在標準假定能夠得到滿足的條件下，回歸系數(shù)的最小二乘估計量的期望值等于其真值，即有： Ｅ（ ）＝ β1 Ｅ（ ）＝ β2 ? 其方差為： Ｖａｒ（ ）＝ Ｖａｒ（ ）＝ ??1?? ? ? 22 )( XXt? ?????????? ? 22)(1XXXn t2??1?? 估計量性質(zhì)的數(shù)學證明 ? (一 )線性估計量 將Ｙ ｔ ＝ β1＋ β2Ｘ ｔ ＋ uｔ 代入估計量，得 ： = = = 最小二乘估計量可表現(xiàn)為所要估計的參數(shù)的真值與隨機誤差項的線性組合 2?? ?? ???2)())((XXYYXXttt????2)()(XYXXttt?????22 )()(XXuXXttt? 推導用的恒等式 ? ＝０ ? ＝ Ｘ ｔ ? ＝ ? 令 2)(? ? XX t )()( YYXXtt ?? tt YXX? ? )( ? ???2)()(XXXXwttt 最小二乘估計量期望值和方差的推導 ? Ｅ（ ）＝ β2＋Ｅ（ ∑ｗ ｔ uｔ ） ＝ β2＋ ∑ｗｔＥ（ uｔ ） （根據(jù)標準假定４） ＝ β2＋ ∑ｗ ｔ ０ （根據(jù)標準假定１） ＝ β2 ? Ｖａｒ（ ）＝Ｖ
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