【正文】 從式 ()可以看出當 c12 ≠ 0 或 c21 ≠ 0 時， VAR模型簡化式中的擾動項不再像結(jié)構(gòu)式中那樣不相關(guān)，正如例 。 當當 c12 = c21 = 0 時，即時，即變量之間沒有即時影響，上述協(xié)方差為變量之間沒有即時影響，上述協(xié)方差為 0，相當于對，相當于對 C0矩矩陣施加約束。陣施加約束。 ()31 2．多變量的．多變量的 SVAR模型模型 下面考慮 k個變量的情形， p階結(jié)構(gòu)向量自回歸模型SVAR(p)為 ()其中 ： , , 32 可以將式 ()寫成滯后算子形式 ()其中： C(L) = C0 ??1L ? ?2L2 ?… ? ?pLp ， C(L)是滯后算子 L的 k?k 的參數(shù)矩陣， C0 ? Ik。 需要注意的是， 本書本書討論的討論的 SVAR模型，模型， C0 矩陣均是主對角線元素為矩陣均是主對角線元素為 1的矩的矩陣。陣。 如果 C0 是一個下三角矩陣，則 SVAR模型稱為遞歸的 SVAR模型。 33 不失一般性，在式 ()假定結(jié)構(gòu)式誤差項 (結(jié)構(gòu)沖擊 ) ut 的方差 協(xié)方差矩陣標準化為單位矩陣 Ik。 同樣，如果矩陣多項式 C(L)可逆，可以表示出 SVAR的無窮階的 VMA(∞)形式 其中： ()34 式 ()通常稱為經(jīng)濟模型的 最終表達式最終表達式 ，因為其中所有內(nèi)生變量都表示為 ut的分布滯后形式。而且結(jié)構(gòu)沖擊 ut 是不可直接觀測得到，需要通過 yt 各元素的響應才可觀測到?？梢酝ㄟ^估計式 ()，轉(zhuǎn)變簡化式的誤差項得到結(jié)構(gòu)沖擊 ut 。 從式 ()和式 ()，可以得到 ()35 上式對于任意的 t 都是成立的，稱為典型的 SVAR模型。由于 A0 = Ik ， 可得 或 式 ()兩端平方取期望，可得 所以我們可以通過對 B0 施加約束來識別 SVAR模型。由式 ()，有()()36 更一般的，假定 A、 B是 (k?k)階的可逆矩陣， A矩陣左乘式 ()形式的 VAR模型，則得 t = 1， 2， … ， T () 如果 A 、 B滿足下列條件： A?t = But , E(ut ) = 0k , E(utut?) = Ik ，則稱上述模型為 AB型 SVAR模型。特別的，在式（ ）的后一個表達式中， A = B01 , B = Ik 。37 結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu) VAR(SVAR)模型的識別條件模型的識別條件 前面已經(jīng)提到，在 VAR簡化式中變量間的當期關(guān)系沒有直接給出，而是隱藏在誤差項的相關(guān)關(guān)系的結(jié)構(gòu)中。自 Sims的研究開始， VAR模型在很多研究領域取得了成功，在一些研究課題中， VAR模型取代了傳統(tǒng)的聯(lián)立方程模型，被證實為實用且有效的統(tǒng)計方法。然而，VAR模型存在參數(shù)過多的問題，如式 ()中，一共有k(kp+d)個參數(shù)，只有所含經(jīng)濟變量較少的 VAR模型才可以通過 OLS和極大似然估計得到滿意的估計結(jié)果。 38 為了解決這一參數(shù)過多的問題，計量經(jīng)濟學家們提出了許多方法。這些方法的出發(fā)點都是通過對參數(shù)空間施加約束條件從而減少所估計的參數(shù)。 SVAR模型就是這些方法中較為成功的一種。 VAR模型的識別條件模型的識別條件 在經(jīng)濟模型的結(jié)構(gòu)式和簡化式之間進行轉(zhuǎn)化時，經(jīng)常遇到模型的識別性問題，即能否從簡化式參數(shù)估計得到相應的結(jié)構(gòu)式參數(shù)。 39 對于 k 元 p 階簡化 VAR模型 利用極大似然方法，需要估計的參數(shù)個數(shù)為 ()() 而對于相應的 k 元 p 階的 SVAR模型 來說，需要估計的參數(shù)個數(shù)為 ()()40 要想得到結(jié)構(gòu)式模型惟一的估計參數(shù)，要求識別的階條件和秩條件， 即簡化式的未知參數(shù)不比結(jié)構(gòu)式的未知即簡化式的未知參數(shù)不比結(jié)構(gòu)式的未知參數(shù)多參數(shù)多 (識別的階條件和秩條件的詳細介紹請參見第 12章的 “ ”)。因此，如果不對結(jié)構(gòu)式參數(shù)加以限制，將出現(xiàn)模型不可識別的問題。 對于 k元 p階 SVAR模型，需要對結(jié)構(gòu)式施加的限制條件個數(shù)為式 ()和式 ()的差，即施加 k(k1)/2個限制條件才能估計出結(jié)構(gòu)式模型的參數(shù)。這些約束條件可以是同期 (短期 )的，也可以是長期的。 41 特別的，對于式（ ）表示的 AB型的 SVAR模型，其滿足 E(A?t ?t? A? ) = E(Butut? B? ) ，進而得到 A? A? = BB? 。如果 ? 的形式已知，則 A? A? = BB?是對矩陣 A、 B的參數(shù)施加了 k(k+1)/2個非線性限制條件，剩下 2k2? k (k+1)/2個自由參數(shù)。42 SVAR模型的約束形式模型的約束形式 為了詳細說明 SVAR模型的約束形成，從式 ()和式 ()出發(fā)，可以得到 其中 A(L)、 B(L)分別是 VAR模型和 SVAR模型相應的VMA(∞)模型的滯后算子式，這就隱含著 (), i = 0， 1， 2， … ()43 因此，只需要對 B0 進行約束，就可以識別整個結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。由式 ()知 B0 = C01 ，因此如果 C0 或 B0 是已知的，可以通過估計式 () 和式 ()非常容易的得到滯后多項式的結(jié)構(gòu)系數(shù)和結(jié)構(gòu)新息 ut 。 在有關(guān) SVAR模型的文獻中，這些約束通常來自于經(jīng)濟理論，表示經(jīng)濟變量和結(jié)構(gòu)沖擊之間有意義的長期和短期關(guān)系。 44 1. 短期約束短期約束 短期約束通常直接施加在矩陣 B0 上，表示經(jīng)濟變量對結(jié)構(gòu)沖擊的同期響應，常見的可識別約束是簡單的 0約束排除方法。 （（ 1）） 通過通過 Cholesky分解建立遞歸形式的短期約束分解建立遞歸形式的短期約束 Sims提出使 B0 矩陣的上三角為 0 的約束方法，這是一個簡單的對協(xié)方差矩陣 ? 的 Cholesky分解。下面，首先介紹 Cholesky分解的基本思想。 45 Cholesky (喬利斯基喬利斯基 )分解分解 對于任意實對稱正定矩陣 ? ，存在惟一一個主對角線元素為 1的下三角形矩陣 G 和惟一一個主對角線元素為正的對角矩陣 Q 使得： 利用這一矩陣 G 可以構(gòu)造一個 k 維向量 ut ， 構(gòu)造方法為 ut =G 1?t ， 設 ()46 則 由于 Q 是對角矩陣，可得 ut 的元素互不相關(guān)，其（ j, j） 元素是 ujt 的方差。令 Q1/2 表示其（ j, j） 元素為 ujt 標準差的對角矩陣。注意到式 ()可寫為 ()其中 P=GQ1/2是一個下三角矩陣。式 ()被稱為Cholesky (喬利斯基喬利斯基 )分解。分解。 47 Sims施加約束的基本過程是：施加約束的基本過程是： 由于 ? 是正定矩陣，所以可得到 Cholesky因子 P，即 PP? = ? 。而且，當給定矩陣 ? 時， Cholesky因子 P是惟一確定的。 對于 VAR模型 ，其中 VWN(0k , ? )表示均值為 0k， 協(xié)方差矩陣為 ? 的白噪聲向量，這里 0k 表示 k 維零向量。 上式兩邊都乘以 P?1， 得到48其中： ut =P1?t。 由于 ()() 所以 ut 是協(xié)方差為單位矩陣的白噪聲向量，即 ut ~ VMN(0k, Ik) 。 49 在向量 ?t 中的各元素可能是當期相關(guān)的，而向量 ut 中的各元素不存在當期相關(guān)關(guān)系，即這些隨機擾動是相互獨立的。 這些相互獨立的隨機擾動可以被看作是導致內(nèi)生這些相互獨立的隨機擾動可以被看作是導致內(nèi)生變量向量變量向量 yt 變動的最終因素。變動的最終因素。 由式 ()還可以得出 其中 , ,()50 很明顯， C0 是下三角矩陣。 這意味著變量間的當期這意味著變量間的當期關(guān)系可以用遞歸的形式表示出來關(guān)系可以用遞歸的形式表示出來 ， 得到的正交 VMA(∞)表示 (或 Wold 表示 )形式為 其中： Bi = Ai P ， B0 = P 。 注意到 B0 = P ，所以沖擊 ut 對 yt 中的元素的當期沖擊效應是由 Cholesky因子 P 決定的。 ()51 更需要注意的是，由于 P 是下三角矩陣，由式()可知，這要求向量 yt 中的 y2t， … ， ykt 的當期值對第一個分量 y1t 沒有影響，因此 Cholesky分解因子分解因子 P 的決的決定和定和 VAR模型中變量的次序有關(guān)模型中變量的次序有關(guān) ，而且在給定變量次序的模型中， Cholesky分解因子矩陣 P 是惟一的。 綜上所述，只要式 ()中的 C0 是主對角線元素為 1 的下三角矩陣，則 SVAR模型是一種遞歸模型，而且是恰好識別的。 52 （（ 2）依據(jù)經(jīng)濟理論假設的短期約束）依據(jù)經(jīng)濟理論假設的短期約束 但是，一般短期約束的施加不必是下三角形式的。只要滿足式 ()：約束可以施加給 B0 的任何元素。同時，由式 ()可知， SVAR模型中的同期表示矩陣 C0 是 B0 的逆，即 B0 = C01， 因此也可以通過對 C0 施加限制條件實現(xiàn)短期約束。 53 對于 k 個變量 p 階 SVAR模型，需要對結(jié)構(gòu)式施加 k(k1)/2個限制條件才能識別出結(jié)構(gòu)沖擊。例如對于稅收 (ln(y1t))、政府支出 (ln(y2t))和產(chǎn)出 (ln(y3t))的三變量 SVAR(2)模型來說，由于模型中包含 3個內(nèi)生變量，則 k(k1)/2= 3，因此需要對模型施加 3個約束條件，才能識別出結(jié)構(gòu)沖擊。根據(jù)經(jīng)濟理論可作出如下的三個假設： ① 實際 GDP不影響同期的政府支出，即 C0矩陣中 c23= 0。 ② 政府支出不影響同期的稅收，即 C0矩陣中 c12= 0。 ③ 關(guān)于稅收的實際產(chǎn)出彈性假設，通過回歸模型得出平均的稅收的產(chǎn)出彈性為 ，即 c13= 。 54 2. 長期約束長期約束 關(guān)于長期約束的概念最早是由 Blanchard和 Quah在1989年提出的，是為了識別模型供給沖擊對產(chǎn)出的長期影響。施加在結(jié)構(gòu) VMA(∞)模型的系數(shù)矩陣 Bi (i=1， 2， …) 上的約束通常稱為長期約束。最常見的長期約束的形式是對 ? i?= 0 Bi 的第 i 行第 j 列元素施加約束，典型的是 0 約束形式，表示第 j 個變量對第 i 個變量的累積乘數(shù)影響為 0。 關(guān)于長期約束更詳細的說明及其經(jīng)濟含義可參考 的脈沖響應函數(shù)。55 在在 EViews中如何估計中如何估計 SVAR模型模型 在 VAR估計窗口中選擇： Procs/Estimate Structural Factorization 即可。下面對這一操作進行詳細說明： 假設 在 EViews中 SVAR模型為： 其中 et ， ut 是 k 維向量， et 是簡化式的殘差，相當于前文的?t ， 而 t 是結(jié)構(gòu)新息 (結(jié)構(gòu)式殘差 )。 A、 B是待估計的 k ? k 矩陣。56例例 基于基于 SVAR模型的貨幣政策效應的實證分析模型的貨幣政策效應的實證分析 中央銀行通過調(diào)整利率和貨幣供應量等貨幣政策工具，來影響投資、社會需求及總支出，進而對經(jīng)濟增長產(chǎn)生作用。凱恩斯學派和貨幣主義學派都承認貨幣供應量對經(jīng)濟有影響，雖然途徑不一樣，但都是誘發(fā)經(jīng)濟波動的主要原因。為了驗證利率和貨幣供給的沖擊對經(jīng)濟波動的影響，例 用了 VAR模型，但是其缺點是不能刻畫變量之間的同期相關(guān)關(guān)系，而這種同期相關(guān)關(guān)系隱藏在擾動項變動中