20xx北師大版選修1-1高中數(shù)學(xué)第三章《變化率與導(dǎo)數(shù)》ppt章末歸納總結(jié)課件-文庫吧
2025-10-13 23:22 本頁面
【正文】 ( x ) ， 就是當 Δ x → 0 時 ， 函數(shù)的增量 Δ y 與自變量的增量 Δ x 之間的比值Δ yΔ x的極限 ， 即 f ′ ( x ) ＝ l i mΔ x → 0 Δ yΔ x＝ l i mΔ x → 0 f ? x ＋ Δ x ? － f ? x ?Δ x. 2 ． 導(dǎo)數(shù)的意義 ( 1 ) 幾何意義 ： 函數(shù) y ＝ f ( x ) 在點 x0處的導(dǎo)數(shù) f ′ ( x0) 就是曲線 y ＝ f ( x ) 在點 P ( x0， f ( x0)) 處的切線的斜率 k ， 即 k ＝ f ′ ( x0) ． ( 2 ) 物理意義 ： 函數(shù) s ＝ s ( t ) 在點 t 處的導(dǎo)數(shù) s ′ ( t ) ， 就是當物體的運動方程為 s ＝ s ( t ) 時 ， 運動物體在時刻 t 時的瞬時速度 v ，即 v ＝ s ′ ( t ) ． 而函數(shù) v ＝ v ( t ) 在 t 處的導(dǎo)數(shù) v ′ ( t ) ， 就是 運動物體在時刻 t 時的加速度 a ， 即 a ＝ v ′ ( t ) ． 3 ． 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程時關(guān)鍵是搞清所給的點是不是切點，常見的類型有兩種，一是求 “ 在某點處的切線方程 ”則此點一定為切點，通過求導(dǎo)，求得斜率，直線方程可得；另一類是求 “ 過某點的切線方程 ” ，這種類型中的點不一定是切點，可先設(shè)切點為 Q ( x1， y1) ，則切線方程為 y － y1＝ f ′ ( x1)( x－ x1) ，再由切線過點 P ( x0， y0) 得 y0－ y1＝ f ′ ( x1)( x0－ x1) ① 又 y1＝ f ( x1) ② 由 ①② 求出 x1， y1的值 ． 即求出了過點 P ( x0， y0) 的切線方程． 已知曲線 y ＝13x3＋43. ( 1 ) 求曲線在點 P ( 2 , 4 ) 處的切線方程 ； ( 2 ) 求曲線過點 P ( 2 , 4 ) 的切線方程 ； ( 3 ) 求斜率為 4 的曲線的切線方程 ． [ 解析 ] ( 1 ) ∵ P ( 2 , 4 ) 在曲線 y ＝13x3＋43上，且 y ′ ＝ x2， ∴ 在點 P ( 2 , 4 ) 處的切線的斜率 k ＝ y ′ | x ＝ 2 ＝ 4 ， ∴ 曲線在點 P ( 2 , 4 ) 處的切線方程為 y － 4 ＝ 4 ( x － 2 ) ， 即 4 x －y － 4 ＝ 0. ( 2 ) 設(shè)曲線 y ＝13x3＋43與過點 P ( 2 , 4 ) 的切線相切于點 A ( x0，13x30＋43) ， 則切線的斜率 k ＝ y ′ |x ＝ x0＝ x20， ∴ 切線方程為 y － (13x30＋43) ＝ x20( x － x0) ， 即 y ＝ x20 x －23x30＋43. ∵ 點 P ( 2 , 4 ) 在切線上， ∴ 4 ＝ 2 x20－23x30＋43， 即 x30－ 3 x20＋ 4 ＝ 0 ， ∴ x30＋ x20－ 4 x20＋ 4 ＝ 0 ， ∴ x20( x0＋ 1 ) － 4 ( x0＋ 1 )( x0－ 1 ) ＝ 0 ， ∴ ( x0＋ 1 )( x0－ 2 )2＝ 0 ，解得 x0
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