【正文】 ＝ eu( － 3) ＝ 12 u－ 5＝ 12( 1 － 3 x )－ 5＝12? 1 － 3 x ?5. ( 2) y ＝ u13 ， u ＝ ax2＋ bx ＋ c . y ′ ＝ y ′u 數(shù)學 路漫漫其修遠兮 吾將上下而求索 北師大版 u ′ ＝ ( u－ 4) ′ ( － 2 ax ＋ b ) ． 自 主 演 練 1 ． 已知 f ( x ) ＝ ax3＋ 3 x2＋ 2 ， 若 f ′ ( － 1 ) ＝ 4 ， 則 a 的值是( ) A.193 B ．163 C.133 D ．103 [ 答案 ] D [ 解析 ] f ′ ( x ) ＝ 3 ax2＋ 6 x ， ∵ f ′ ( － 1 ) ＝ 3 a － 6 ， ∴ 3 a － 6 ＝ 4 ， ∴ a ＝103. 2． (2020 ex＋1x. 復合函數(shù)的求導法則 一般地 ， 復合函數(shù) y ＝ f [ φ ( x )] 對自變量 x 的導數(shù) y ′ x ， 等于已知函數(shù)中間變量 u ＝ φ ( x ) 的導數(shù) y ′ u ， 乘以中間變量 u 對自變量 x 的導數(shù) u ′ x ， 即 y ′ x ＝ y ′ u ex＋1x＝ (1 ＋ x ) ( － 2 ax ＋ b ) ＝ e－ ax2＋ bx ( 1 － 3 x ) ′ ＝－ 4成才之路 u－ 5( － ax2＋ bx ) ′ ＝ euex) ′ ＋ ( l n x ) ′ ＝ ex＋ x u ′ x 下面予以證明 ． 證明 ： 設 x 有一改變量 Δx ， 則對應的 u ， y 分別有改變量 Δu ，Δy . 根據(jù)函數(shù)可導一定連續(xù) ， 所以當 Δx → 0 時 ， Δu → 0. 由ΔyΔx＝ΔyΔu東北三校聯(lián)考 )已知函數(shù) f(x)的導函數(shù)為 f′(x)，且滿足 f(x)＝ 2xf′(1)＋ lnx，則 f′(1)＝ ( ) A．－ e B．－ 1 C． 1 D． e [答案 ] B [ 解析 ] 由 f ( x ) ＝ 2 xf ′ ( 1 ) ＋ ln x ，得 f ′ ( x ) ＝ 2 f′ ( 1 ) ＋1x ， ∴ f ′ ( 1 ) ＝ 2 f ′ ( 1 ) ＋ 1 ，則 f ′ ( 1 ) ＝－ 1. 3．函數(shù) y＝ (x＋ 2a)(x－ a)2的導數(shù)為 ( ) A． y′＝ 2(x2－ a2) B． y′＝ 3(x2＋ a2) C． y′＝ 3(x2－ a2) D． y′＝ 2(x2＋ a2) [答案 ] C [解析 ] y＝ (x＋ 2a)(x－ a)2 ＝ (x＋ 2a)(x2－ 2ax＋ a2)， ∴ y′＝ (x＋ 2a)′(x2－ 2ax＋ a2)＋ (x＋ 2a)(x2－ 2ax＋ a2)′＝ x2－2ax＋ a2＋ (x＋ 2a)(2x－ 2a) ＝ x2－ 2ax＋ a2＋ 2x2＋ 2ax－ 4a2 ＝ 3x2－ C . 4 ． 已知點 P 在曲線 y ＝4ex＋ 1上 ， α 為曲線在點 P 處的切線的傾斜角 ， 則 α 的取值范圍是 ( ) A ． [ 0 ，π4) B ． [π4，π2) C ． (π2，3π4] D ． [3π4， π ) [ 答案 ] D [ 解析 ] y ′ ＝－ 4ex? ex＋ 1 ?2 ＝－ 4ex＋ 2 ＋1ex≥ － 1 ， 又 y ′ 0 ， ∴ － 1 ≤ y ′ 0 ，即－ 1 ≤ t a n α 0 ， ∴3π4