【正文】 200元 B 直接獲取 200元 C 這三個(gè)方案的收益期望值都是 200，但決策者對(duì)它們的偏好顯然是不同的。我們用“效用（ Utility）”來(lái)表示帶有風(fēng)險(xiǎn)的收益對(duì)決策者的價(jià)值。 效用函數(shù)的確定 由于不同的決策者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度不同，同樣的決策方案，對(duì)不同的決策者效用值是不同的。 在各種方案中，收益的最大值的效用為 1，收益的最小值（損失的最大值）的效用為 0。 例如在上例中， u(1000)=1， u(600)＝ 0。 如果決策者認(rèn)為 C方案必 A方案好，說(shuō)明 u(200)(1000)+(600)= 如果將 C方案中的 200元降為 100元，仍有 u(100)(1000)+(600)= ….. u(0)(1000)+(600)= ….. u(100)(1000)+(600)= ….. u(50)(1000)+(600)= ….. u(10)=(1000)+(600)= x 1000 400 200 0 400 1 600 800 200 600 U(x) 厭惡風(fēng)險(xiǎn)的決策者的效用函數(shù) 喜好風(fēng)險(xiǎn)的決策者的效用函數(shù) 決策者 1： u(1000)=1， u(600)=， u(200)=， u(200)=， u(600)=0 決策者 2： u(1000)=1， u(600)=， u(200)=， u(200)=， u(600)=0 直接獲取 200元 拋一枚硬幣，正面朝上得 600元，反面朝上反而要付出 200元 拋一枚硬幣，正面朝上得 1000元，反面朝上反而要付出 600元 A B C 決策者 1： u(A)= u(1000)+ u(600)= u(B)= u(600)+ u(200)= u(C)u(B)u(A) u(C)=u(200)= 決策者 2： u(A)= u(1000)+ u(600)= u(B)= u(600)+ u(200)= u(A)u(B)u(C) u(C)=u(200)= 決策者 1： u(1000)=1， u(600)=， u(200)=， u(200)=， u(600)=0 決策者 2： u(1000)=1， u(600)=， u(200)=， u(200)=， u(600)=0 應(yīng)用期望效用準(zhǔn)則的決策樹(shù)方法 確定 批量 S1 S3 S2 大批量 中批量 小批量 N1(需求量大 ) P(N1)= N2(需求量中 ) P(N1)= N3(需求量小 ) P(N1)= N1(需求量大 ) P(N1)= N2(需求量中 ) P(N1)= N3(需求量小 ) P(N1)= N1(需求量大 ) P(N1)= N2(需求量中 ) P(N1)= N3(需求量小 ) P(N1)= 500 300 250 300 200 80 200 150 100 65 126 120 126 ∥ ∥ 500 400 300 200 100 0 100 200 250 1 決策者 1 決策者 2 收益 500 300 200 150 100 80 － 250 效用 1 效用 2 確定 批量 S1 S3 S2 大批量 中批量 小批量 N1(需求量大 ) P(N1)= N2(需求量中 ) P(N1)= N3(需求量小 ) P(N1)= N1(需求量大 ) P(N1)= N2(需求量中 ) P(N1)= N3(需求量小 ) P(N1)= N1(需求量大 ) P(N1)= N2(需求量中 ) P(N1)= N3(需求量小 ) P(N1)= 500 300 250 300 200 80 200 150 100 65 126 120 126 0 0 期望值 決策者 1的效用期望 決策者 2的效用期望 收益 效用 1 效用 2 如果洪水強(qiáng)度在水壩設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)以?xún)?nèi)，不會(huì)造成任何損失，而且只要在設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)以?xún)?nèi)，洪水越大，蓄水、發(fā)電等效益越顯著。如果洪水強(qiáng)度超過(guò)設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)，不僅將危及大壩安全，還會(huì)對(duì)下游人民生命財(cái)產(chǎn)造成巨大損失，高程越高，損失越大。不同高程的水壩，遇到不同強(qiáng)度的洪水，效益和損失（千萬(wàn)元）如下表所示： 在一條河流上計(jì)劃建造一座水電站，水壩的高程有 50米， 80米和100米三種方案。三種高程的水壩分別可以抵御 20年一遇（即發(fā)生概率為 ）、 50年一遇（即發(fā)生概率為 ）和 100年一遇（發(fā)生概率為）的洪水。 水壩高程 洪水強(qiáng)度 發(fā)生概率 50米 80米 100米 小于 20年一遇 8 7 6 20年一遇 20 15 10 50年一遇 － 6 200 180 100年一遇 － 15 － 30 500 大于 100年一遇 － 20 － 100 － 200 損益期望值 以損益期望值為評(píng)價(jià)指標(biāo)， 100米高層為最優(yōu)決策 益損值 200 100 30 20 15 6 6 7 效用 益損值 8 10 15 20 180 200 500 效用 200 100 0 100 200 300 400 500 益損值 200 100 30 20 15 6 6 7 效用 益損值 8 10 15 20 180 200 500 效用 水壩高程 洪水強(qiáng)度 發(fā)生概率 50米 80米 100米 小于 20年一遇 20年一遇 50年一遇 100年一遇 大于 100年一遇 損益期望值 以效用期望值為評(píng)價(jià)指標(biāo)， 50米高層為最優(yōu)決策 有一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)投資的機(jī)會(huì)，成功和失敗的概率都是 。投資 1元，如果成功可以得到 ，即資本成為。如果失敗，則損失 1元，即資本成為 0。 開(kāi)始的資本為 100萬(wàn)元。投資的次數(shù)和每次投資額不限。為了不至于把錢(qián)輸光，投資者采取如下的策略：每次總是將資本的一半去投資。 問(wèn)題：這項(xiàng)投資的結(jié)局如何，是一本萬(wàn)利，還是一貧如洗？ 問(wèn)題 1：風(fēng)險(xiǎn)決策的一個(gè)討論題 答案 1：設(shè)初始資本為 a元，資本增值率 K= 第一次投資 a/2元 如果成功，資本為 a1=a+K（ a/2） =(1+K/2)a 如果失敗，資本為 a1= 第一次投資后的期望資本為： E1= (1+K/2)a+ =(+)a 第二次投資 (+)a/2 如果成功，資本為 a2= (+)a +K (+)a/2 = (+)a(1+K/2) 如果失敗，資本為 a2= (+)a/2 第二次投資后的期望資本為 E2= (+)a(1+K/2)＋ (+)a/2 ＝ (+)(+)a= (+)2 a 依次類(lèi)推，第 n次投資以后的期望資本為 En= (+)n a 用 K=,代入 En= ()n a 即隨著投資次數(shù)的增加，期望資本會(huì)無(wú)限增大。是一項(xiàng)一本萬(wàn)利的生意。 答案 2： 設(shè)投資 2n次，其中成功和失敗各占 n次 第一次投資成功資本成為 a1=a+ a/2= 第二次投資又成功，資本 a2=+ …….. 第 n次成功，資本成為 an=()na 第 1次失敗，資本成為 an＋ 1=()na …… 第 n次失敗，資本成為 a2n=()n()na=()na 隨著投資次數(shù)的增加，資本將減少到 0。投資的結(jié)果將血本無(wú)歸。 討論題：當(dāng)投資次數(shù)無(wú)限增大時(shí)，投資者的資本究竟是“一本萬(wàn)利”還是“血本無(wú)歸”？錯(cuò)的答案錯(cuò)在哪里？ 例一 風(fēng)險(xiǎn)投資的計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn) 建立一張 Excel表，模擬投資次數(shù)設(shè)定為 100次。當(dāng)前資本為 100萬(wàn)元。第二次投資前的資本（ B5）等于第一次投資后的資本（ E4）， …… ，依次定義每次投資前的資本為上一次投資后的資本。 對(duì)每一次模擬投資，設(shè)置一個(gè)在 [0， 1]區(qū)間均勻分布的隨機(jī)變量。按功能鍵 F9，所有隨機(jī)變量會(huì)重新產(chǎn)生一次。 定義投資成功與否。如果相應(yīng)的隨機(jī)變量小于 ，投資失?。?D4=0），否則投資成功（ D4=1）。由于隨機(jī)變量在區(qū)間 [0,1]中是均勻分布的，因此投資成功河失敗的次數(shù)各占一半。 計(jì)算投資后的資本。按 F9鍵，刷新隨機(jī)數(shù)，進(jìn)行新的100次模擬投資實(shí)驗(yàn)。 用圖形表示 100次模擬投資實(shí)驗(yàn)中資本變化。按 F9鍵，刷新隨機(jī)數(shù)，可以得到新的資本變化圖形。 例二 回收帶有隨機(jī)性的風(fēng)險(xiǎn)投資模擬實(shí)驗(yàn) 一項(xiàng)長(zhǎng)期風(fēng)險(xiǎn)投資，初期投資 100萬(wàn)元，分四年回收。利率 r=5％。每年投資回報(bào)是隨機(jī)的，服從正態(tài)分布期望值和方差如下表： 年份 1 2 3 4 期望值（萬(wàn)元） 40 30 25 20 標(biāo)準(zhǔn)差（萬(wàn)元） 2 3 4 5 求這個(gè)項(xiàng)目的平均凈現(xiàn)值和內(nèi)部回收率 1 2 3 4 I R1 R2 R3 R4 投資凈現(xiàn)值 ?? ????TtttrRINPV1 )1(內(nèi)部回收率 IRR：使 NPV=0的利率 NPV r IRR 隨著利率 r的增加， NPV隨之下降， NPV降到 0時(shí)的利率就是內(nèi)部回收率 IRR 演示 第一次作業(yè) 有一項(xiàng)長(zhǎng)期投資，分三年投入，投資額是確定的，回收額是隨機(jī)的，服從正態(tài)分布。投資貼現(xiàn)率為 5％。每年需要投入的資金以及預(yù)計(jì)前五年的投資回報(bào)額的期望值和標(biāo)準(zhǔn)差如下表所示： 年 份 0 1 2 3 4 5 投資當(dāng)年值（萬(wàn)元） 30 50 20 － － － 回收期望值（萬(wàn)元） － 15 20 30 35 10 回收標(biāo)準(zhǔn)差（萬(wàn)元） － 2 用隨機(jī)模擬的方法求這個(gè)項(xiàng)目的平均凈現(xiàn)值和內(nèi)部回收率 存儲(chǔ)問(wèn)題 存儲(chǔ)是一種常見(jiàn)的現(xiàn)象。無(wú)論社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)、環(huán)境生態(tài)系統(tǒng)、生物生命系統(tǒng)，普遍存在存儲(chǔ)現(xiàn)象。 ?流水生產(chǎn)線(xiàn)工位上的在制品堆棧 — 在制品存儲(chǔ) ?火力發(fā)電廠的燃煤堆場(chǎng) — 原料存儲(chǔ) ?海洋、湖泊在調(diào)節(jié)大氣環(huán)流中的作用 — 能量存儲(chǔ) ?人體內(nèi)部的脂肪 — 能量存儲(chǔ) 存儲(chǔ)的作用 ?系統(tǒng)和環(huán)境中間形成緩沖，防止和減少環(huán)境變化對(duì)系統(tǒng)運(yùn)行的影響 ?系統(tǒng)內(nèi)部各部分之間形成緩沖，起到各部分之間的解耦，提高系統(tǒng)的可靠性和穩(wěn)定性 ?提高存儲(chǔ)量和存儲(chǔ)成本，降低系統(tǒng)中各部件的可靠性成本和系統(tǒng)的運(yùn)行成本 存儲(chǔ)模型 設(shè)有一個(gè)倉(cāng)庫(kù)，存放某種物品。每件物品在倉(cāng)庫(kù)中存放一天的費(fèi)用為 c（元 /件天），這種物品每天的需求量為 dt，需求量 dt可以是一個(gè)常數(shù)，也可以是隨機(jī)變量。根據(jù)需求，每天從該倉(cāng)庫(kù)提取相應(yīng)數(shù)量的物品。 期初倉(cāng)庫(kù)中物品的數(shù)量為 Q，隨著每天提貨，庫(kù)存量不斷減少。為了不斷滿(mǎn)足需求，需要經(jīng)常補(bǔ)充物品。每次補(bǔ)充物品的數(shù)量為 R，補(bǔ)充數(shù)量 R可以是一個(gè)常數(shù)，也可以是一個(gè)變數(shù)。每補(bǔ)充一次物品的費(fèi)用為 cs是一個(gè)常數(shù)，與補(bǔ)充物品的數(shù)量無(wú)關(guān)。每?jī)纱窝a(bǔ)充之間的時(shí)間間隔為 T，補(bǔ)充時(shí)間間隔可以是常數(shù)，也可以是變數(shù)。假定一次補(bǔ)充需要的時(shí)間很短，可以忽略不計(jì)。 當(dāng)庫(kù)存量減少到 0，如果還不補(bǔ)充，需求就不能滿(mǎn)足，這樣就形成缺貨。缺貨可以用負(fù)的庫(kù)存表示。下一次補(bǔ)充時(shí)，已形成的缺貨可以補(bǔ)給，也可以不給。缺貨會(huì)造成缺貨損失，一件缺貨每天的損失為 s，一般情況下，缺貨損失要比正常庫(kù)存費(fèi)用大。 該存儲(chǔ)系統(tǒng)的總費(fèi)用由庫(kù)存費(fèi)用、補(bǔ)充費(fèi)用和缺貨損失三部分組成。 存儲(chǔ)模型的分類(lèi) 按需求類(lèi)型分 ?確定性需求 ?隨機(jī)性需求 按補(bǔ)充周期分 ?定期補(bǔ)充：補(bǔ)充周期為 t ?不定期補(bǔ)充：設(shè)立最低庫(kù)存 L(Low)，實(shí)際庫(kù)存等于或低于最低庫(kù)存，立即補(bǔ)充 按補(bǔ)充數(shù)量分 ?定值補(bǔ)充：無(wú)論補(bǔ)充時(shí)庫(kù)存量還有多少，每次補(bǔ)充到一個(gè)庫(kù)存的最高值 H(High) ?等值補(bǔ)充：無(wú)論補(bǔ)充時(shí)庫(kù)存量還有多少，每次補(bǔ)充一個(gè)設(shè)定值 R(Refreshment) t 定