高二數(shù)學函數(shù)的單調性-文庫吧
2025-10-09 16:45 本頁面
【正文】 ． (填序號 ) ① y=2x+1；② y=3x2+1；③ y= ；④ y=|x|. 2x 解析：①在 R上遞增；②在 (0， +∞)上遞增； ④在 (0， +∞)上遞增；只有③在 (0， +∞)上遞減． ③ 5. 若函數(shù) y=ax與 y=－ 在 (0， +∞)上都是減函數(shù)，則 y=ax2+bx在 (0， +∞)上是 ________． (填 “ 增函數(shù) ” 或 “ 減函數(shù) ” ) bx 解析：由題意知 a0且 b0，則 y=ax2+bx圖象開口 向下且對稱軸 x=0，故此函數(shù)在 (0， +∞)上遞減． 減函數(shù) 【 例 1】 判斷下列函數(shù)的單調性，并給予證明． (1)f(x)= ， x∈ (1， +∞)； (2)f(x)= ， x∈ [1， +∞)． 經(jīng)典例題 21x?1x?題型一 函數(shù)單調性的判斷與證明 分析： 先判斷單調性，再用單調性的定義證明． (1)采用通分進行變形， (2)采用分子有理化的 方式進行變形． 解： (1)函數(shù) f(x)= 在 (1， +∞)上為減函數(shù)． 利用定義證明如下： 任取 x x2∈ (1， +∞)，且 1x1x2， 則 f(x1)f(x2)= ∵ 1x1x2， ∴ x1+10， x2+10， x2x10， ∴ 0， 即 f(x1)f(x2)0， f(x1)f(x2)． 故 f(x)= 在 (1， +∞)上為減函數(shù) 21x?211 2 1 22221 1 1 1xxx x x x? ? ???? ? ? ? ?? ? ?21122 11xxxx? ? ?? ? ?? ? ?21x?(2)函數(shù) f(x)= 在 [1， +∞)上為增函數(shù)． 證明如下： 任取 x x2∈ [1， +∞)且 1≤x1x2， 則有 x1x20， f(x1)f(x2)= ∵ 1≤x1x2， ∴ x1x20， 即 f(x1)f(x2)0， f(x1)f(x2)． 故函數(shù) f(x)=在 [1， +∞)上為增函數(shù) ． 1x?1 2 1 212121 1 1 11111x x x xxxxx? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?1 2 1 21 2 1 2111 1 1 1x x x xx x x x? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?121 0 , 1 0xx? ? ? ? 121211xxxx?? ? ?變式 11 試討論函數(shù) f(x)= ， x∈ (1,1)的單調性 (其中a≠0)． 2 1axx ?解析：設 1x1x21， 則 f(x1)f(x2)= . ∵ 1x1x21， ∴
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