高二數(shù)學(xué)函數(shù)的單調(diào)性(已改無錯(cuò)字)
2022-12-25 16:45:57 本頁(yè)面
【正文】 減區(qū)間 是 (∞， 1)，增區(qū)間是 (2， +∞)，又 y= (0， +∞)上是減函數(shù)， ∴ 函數(shù) y=(x23x+2) 的單調(diào)減區(qū)間是 (2， +∞)，單調(diào)增區(qū)間是 (∞， 1)． 23124x????????【 例 3】 函數(shù) f(x)對(duì)任意的 a、 b∈ R， 都有 f(a+b)=f(a)+f(b)1，并且當(dāng) x0時(shí)， f(x)1. (1)求證： f(x)是 R上的增函數(shù)； (2)若 f(4)=5，解不等式 f(3m2m2)3. 題型三 抽象函數(shù)的單調(diào)性 分析：根據(jù)題目中所給的關(guān)系式通過賦值、變形、 構(gòu)造，尋找 f(x2)與 f(x1)的關(guān)系． 解： (1)證明：設(shè) x1， x2∈ R，且 x1x2，則 x=x2x10， ∴ f(x2x1)1. f(x2)f(x1)=f[(x2x1)+x1]f(x1)=f(x2x1)+f(x1)1f(x1)=f(x2x1)10， ∴ f(x2)f(x1)，即 f(x)是 R上的增函數(shù)． (2)∵ f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)1=5， ∴ f(2)=3， ∴ 原不等式可化為 f(3m2m2)f(2)． ∵ f(x)是 R上的增函數(shù)， ∴ 3m2m22， 解得 1m ∴ 不等式的解集為 . 4341,3???????變式 31 已知函數(shù) f(x)對(duì)于任意 x， y∈ R， 總有 f(x)+f(y)=f(x+y)，且當(dāng) x0時(shí)， f(x)0， f(1)= . (1)求證： f(x)在 R上是減函數(shù)； (2)求 f(x)在 [3,3]上的最大值和最小值 23(1)證明： 方法一： ∵ 函數(shù) f(x)對(duì)于任意 x， y∈ R總有 f(x)+f(y)=f(x+y)， ∴ 令 x=y=0，得 f(0)=0. 再令 y=x，得 f(x)=f(x)． 在 R上任取 x1x2，則 x1x20， f(x1)f(x2)=f(x1)+f(x2)=f(x1x2)． 又 ∵ x0時(shí)， f(x)0，而 x1x20， ∴ f(x1x2)0，即 f(x1)f(x2)， ∴ f(x)在 R上是減函數(shù)． 方法二：設(shè) x1x2，則 f(x1)f(x2)=f(x1x2+x2)f(x2) =f(x1x2)+f(x2)f(x2)=f(x1x2)． 又 ∵ x0時(shí)， f(x)0，而 x1x20， ∴ f(x1x2)0， 即 f(x1)f(x2)． ∴ f(x)在 R上為減函數(shù)． (2)∵ f(x)在 R上是減函數(shù)， ∴ f(x)在 [3,3]上也是減函數(shù)， ∴ f(x)在 [3,3]上的最大值和最小值分別為 f(3)與 f(3)． 而 f(3)=3f(1)=(3)=f(3)=2. ∴ f(x)在 [3,3]上的最大值為 2，最小值為 2. 【 例 4】 定義在 R上的函數(shù) y=f(x)， f(0) 0， 當(dāng) x0時(shí)，恒有 f(x)1，且對(duì)任意的 a、 b∈ R， 有 f(a+b)=f(a)f(b)． (1)求 f(0)的值； (2)求證：對(duì)任意的
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