復合函數(shù)的單調(diào)性-文庫吧
2025-05-01 03:08 本頁面
【正文】 算符號為“x”、“247。”時，則不具有這種規(guī)律． （五）基本不等式法這種方法是利用如下的“基本不等式”和與“復數(shù)的?！庇嘘P的不等式求函數(shù)值域． 例12．解：例13．解：∵y≥0 例14．解：又y是x的連續(xù)函數(shù) （六）利用原函數(shù)的反函數(shù)如果一個函數(shù)的反函數(shù)存在，那么反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的值域．例15．解 y10x+y10x=10x10x 即y102x+y=102x1 ∴1+y=(1y)102x （七）利用已知函數(shù)的值域 例16．解 利用三角函數(shù)的值域來求值域，把函數(shù)式去分母變形得：ycosxsinx=13y （八）圖象法例17．解： 由圖象知：值域為y≥3 （九）利用導數(shù)求值域此種方法在本學期學習導數(shù)的應用時已作了詳盡的闡述，這里就不再多說了．二．函數(shù)的單調(diào)性 （一）函數(shù)單調(diào)性的判定 1．利用已知函數(shù)的單調(diào)性例1 若y=(2k+1)x+b是R上的減函數(shù)，則有（ ） 解：選D說明：函數(shù)y=kx+b，當k0時是增函數(shù)；k=0時是常函數(shù)；k0時是減函數(shù)．例2．減區(qū)間是__________________．解：減區(qū)間是（∞,1）和（1,+∞）．說明：函數(shù)的兩個單調(diào)區(qū)間之間可以用“，”或“和”字連接，而不能用符號“∪”連 例3 函數(shù)f(x)=4x2mx+5，當x∈(2,+∞)時是增函數(shù)，則m的取值范圍是_________；當x∈(2,+∞)時是增函數(shù)，當x∈(∞,2)時是減函數(shù)，則f(1)=________________.解： ∴m=16 ∴f(1)=4+16+5=252．利用定義判定或證明函數(shù)的單調(diào)性例4 根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)f(x)=x3+1在R上是減函數(shù)．證明 在（∞,+∞）上任取xx2，且x1x2，則 f(x2)f(x1)=x13x23=(x1x2)(x12+x1x2+x22) ∵x1x2 ∴x1x20 當x1x20時，有x12+x1x2+x22=(x1+x2)2x1x20 當x1x2≥0時，有x12+x1x2+x220 ∴f(x2)f(x1)=(x1x2)(x12+x1x2+x22)0 即f(x2)f(x1) 所以函數(shù)f(x)=x3+1在(∞,+∞)上是減函數(shù)說明f(x1)的符號；同學們也不妨應用導數(shù)的知識來解決本題． （2）用定義證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性，要注意步驟清晰，討論嚴密．例5． 解 （1）i）設x1，x2∈（0，1]，且x1x2， ∵x1x20, 0x1x21 ∴f(x1)f(x2)0 即f(x1)f(x2) ii）設x1，x2∈[1,+∞)，且x1x2 ∴由(1)中討論可知y當x≥0時單調(diào)遞增，當x=0時， ∴當x=0時，y有最小值說明(2)中函數(shù)最值不能用基本不等式求，因為不存在使的x；同理可證：3．利用圖象討論函數(shù)的單調(diào)性例6 作函數(shù)f(x)=|x21|+x的圖象，并根據(jù)圖象討論函數(shù)的單調(diào)性．解 由圖象， （二）復合函數(shù)的單調(diào)性例7．解 ∵x22x+3≥0 ∴x2+2x3≤0 ∴(x1)(x+3)≤0 ∴3≤x≤1 則當x∈[3,1]時，u=x22x+3單調(diào)遞增 當x∈[1,1]時，u=x22x+3單調(diào)遞減例8．解： 例9 已知f(x)=8+2xx2,g(x)=f(2x2),討論g(x)的增減性．解：g(x)=8+2(2x2)
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