高二數(shù)學(xué)隨機變量及其分布列-文庫吧
2025-10-09 16:41 本頁面
【正文】 ) 求兩人各射擊 4 次，甲恰好擊中目標 2 次且乙 恰好擊中目標 3 次的概率； ( 3 ) 假設(shè)某人連續(xù) 2 次未擊中目標，則中止其射擊．則乙恰好射擊 5 次后被中止射擊的概率是多少？ 思維啟迪 ( 1) 第 ( 1) 問先求其對立事件的概率． ( 2) 第 ( 2) 問利用相互獨立事件和獨立重復(fù)試驗的概率公式． ( 3) 第 ( 3) 問中，甲恰好射擊 5 次被中止，可分為前 3 次擊中后兩次未擊中和前 2 次有一次未擊中，第 3 次擊中，后兩次未擊中兩種情況． 解 ( 1) 甲至少一次未擊中目標的概率 P 1 是 P 1 ＝ P 4 ( 1) ＋ P 4 ( 2) ＋ P 4 ( 3) ＋ P 4 ( 4) ＝ 1 － P 4 ( 0) ＝ 1 －??????234??????130＝6581. ( 2 ) 甲射擊 4 次恰擊中 2 次的概率為 P2＝ C24????????232????????132＝827， 乙射擊 4 次恰擊中 3 次的概率為 P3＝ C34????????34314＝2764， 由乘法公式，所求概率 P ＝ P2P3＝8272764＝18. ( 3 ) 乙恰好 5 次停止射擊，則最后兩次未擊中，前三次或都擊中或第一與第二次恰有一次擊中，第三次必擊中，故所求概率為 P ＝????????343????????142＋ C12????????342????????143＝451 0 2 4. 探究提高 ( 1) 注意區(qū)分互斥事件和相互獨立事件，互斥事件是在同一試驗中不可能同時發(fā)生的情況，相互獨立事件是指幾個事件的發(fā)生與否互不影響，當然可以同時發(fā)生． ( 2) 一個事件若正面情況比較多，反面情況較少，則一般利用對立事件進行求解．對于 “ 至少 ” ， “ 至多 ” 等問題往往用這種方法求解． 變式訓(xùn)練 1 已知甲盒內(nèi)有大小相同的 3 個紅球和 4 個黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的 5 個紅球和 4 個黑球．現(xiàn)從甲、乙兩個盒內(nèi)各任取 2 個球． ( 1 ) 求取出的 4 個球均為紅球的概率； ( 2 ) 求取出的 4 個球中恰有 1 個紅球的概率． 解 ( 1 ) 設(shè) “ 從甲盒內(nèi)取出的 2 個球均為紅球 ” 為事件A ， “ 從乙盒內(nèi)取出的 2 個球均為紅球 ” 為事件 B . 由于事件 A ， B 相互獨立，且 P ( A ) ＝C23C27＝17， P ( B ) ＝C25C29＝518， 故取出的 4 個球均為紅球的概率是 P ( A B ) ＝ P ( A ) P ( B ) ＝17518＝51 2 6. ( 2 ) 設(shè) “ 從甲盒內(nèi)取出的 2 個球中， 1 個是紅球， 1 個是黑球；從乙盒內(nèi)取出的 2 個球均為黑球 ” 為事件 C ， “ 從甲盒內(nèi)取出的 2 個球均為黑球；從乙盒內(nèi)取出的 2 個球中， 1 個是紅球， 1 個是黑球 ” 為事件 D . 由于事件 C 、D 互斥，且 P ( C ) ＝C13C14C27C24C29＝221， P ( D ) ＝C24C27C15C14C29＝1063. 故取出的 4 個球中恰有 1 個紅球的概率為 P ( C ＋ D ) ＝ P ( C ) ＋ P ( D ) ＝221＋1063＝1663. 題型二 隨機變量的分布列、期望和方差 例 2 甲、乙二人進行一次圍棋比賽，約定先勝 3 局者獲得這次比賽的勝利，比賽結(jié)束．假設(shè)在一局中，甲獲勝的概率為 0 . 6 ，乙獲勝的概率為 0 . 4 ，各局比賽結(jié)果相互獨立，已知前 2 局中，甲、乙各勝 1 局． ( 1 ) 求甲獲得這次比賽勝利的概率； ( 2 ) 設(shè) ξ 表示從第 3 局開始到比賽結(jié)束所進行的局數(shù)，求 ξ 的分布列及數(shù)學(xué)期望． 思維啟迪 甲獲勝的三種情形 → 求甲獲勝的概率 →ξ 的所有可能值及其概率 → ξ 的分布列 → ξ 的數(shù)學(xué)期望． 解 記 Ai表示事件：第 i 局甲獲勝， i ＝ 3 , 4 , 5 ， 記 Bj表示事件：第 j 局乙獲勝： j ＝ 3 , 4 . ( 1 ) 記 B 表示事件：甲獲得這次比賽的勝利． 因前兩局中，甲、乙各勝 1 局，故甲獲得這次比賽的勝利當且僅當在后面的比賽中，甲先勝 2 局，從而 B ＝ A3 A4＋ B3 A4 A5＋ A3 B4 A5， 由于各局比賽結(jié)果相互獨立，故 P ( B ) ＝ P ( A3 A4) ＋ P ( B3 A4 A5) ＋ P ( A3 B4 A5) ＝ P ( A3) P ( A4) ＋ P ( B3) P ( A4) P ( A5) ＋ P ( A3) P ( B4) P ( A5) ＝ 0 . 6 0 . 6 ＋ 0 . 4 0 . 6 0 . 6 ＋ 0 . 6 0 . 4 0 . 6 ＝ 0 . 6 4 8 . ( 2 ) ξ 的可能取值為 2 , 3 . 由于各局比賽結(jié)果相互獨立，所以 P ( ξ ＝ 2) ＝ P ( A3 A4＋ B3 B4) ＝ P ( A3 A4) ＋ P ( B3 B4) ＝ P ( A3) P ( A4) ＋ P ( B3) P ( B4) ＝ 0 . 6 0 . 6
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