【正文】 ?uP)( ???? uP（ 1） （ 2） （ 3） 解： （ 1） )( ?uP)( ???? uP)( ?uP?（ 2） )(1 ??? uP ?? ?（ 3） )()( ?????? uPuP)](1[)](1[ ?????? uPuP)9 8 3 ()7 1 0 ( ????0 1 7 9 8 ???關于標準正態(tài)分布，以下幾種概率應當熟記： P（ 1≤u＜ 1） = P（ 2≤u＜ 2） = P（ 3≤u＜ 3） = P（ ≤u＜ ） = P（ ≤u＜ ） = P（｜ u｜ ≥1） u變量在上述區(qū)間以外取值的概率， 即兩尾概率： = 1 P（ 1≤u＜ 1） = = P（｜ u｜ ≥2） =1 P（ 2≤u＜ 2） = P（｜ u｜ ≥3） = = P（｜ u｜ ≥） = = P（｜ u｜ ≥） = = （ 2） 正態(tài)分布的概率計算 對于服從任意正態(tài)分布 N（ μ,σ2） 的隨機變量，欲求其在某個區(qū)間的取值概率，需先將它標準化為標準正態(tài)分布 N（ 0,1） 的隨機變量，然后查表即可。 ???? xu實質： 為了能使正態(tài)分布應用起來更方便一些，可以將 x作一變換，令： 變換后的正態(tài)分布密度函數(shù)為： 2221)( ueuf ???標準正態(tài)分布均具有 μ=0， σ2=1的特性 如果隨機變量 u服從標準正態(tài)分布，可記為： u～ N（ 0， 1） u變換 這個變換稱為標準化或 u變換 ,由于 x是隨機變量，因此 u也是隨機變量， 所得到的隨機變量 U也服從正態(tài)分布，因此，由任意正態(tài)分布隨機變量標準化得到的隨機變量的標準正態(tài)分布常稱為 u分布?？梢姡? 數(shù)學期望與方差的運算 隨機變量的數(shù)學期望就是指它們的理論均數(shù)，其統(tǒng)計學意義就是對隨機變量進行長期觀測所得數(shù)據(jù)的平均數(shù)，因而，數(shù)學期望只對長期或大量觀測值才有意義，對于個別觀測或試驗無意義。 例 2： 設 x ~ N（ 30， 102） 試求 x≥ 40的概率。 解： 首先將正態(tài)分布 轉化為標準正態(tài)分布，令 : )10 3040( ??? uP)40( ?xP1030?? xu則 u服從標準正態(tài)分布，故 : )1( ?? uP)1(1 ??? uP ???例 3： 設 x服從 μ=, σ2 =，試求 P(≤x＜ )。 解： 令 ?? xu則 u服從標準正態(tài)分布，故 =P(≤u＜ ) =Φ()Φ() = = ) ()( ???????? xPxP關于一般正態(tài)分布，經常用到以下幾個概率： P（ μσ≤x＜ μ+σ） = P（ μ2σ≤x＜ μ+2σ） = P（ μ3σ≤x＜ μ+3σ） = P（ ≤x＜ μ+） = P（ ≤x＜ μ+） = 把隨機變量 x落在平均數(shù) μ加減不同倍數(shù)標準差 σ區(qū)間之外的概率稱為兩尾概率（雙側概率），記作 α。 對應于兩尾概率可以求得隨機變量 x小于 μkσ或大于 μ+kσ的概率，稱為一尾概率（單側概率），記作 α／ 2。 α α/2 附表 2： 給出了滿足 ?? ?）＞uuP ( 兩尾臨界值 uα 因此，可以根據(jù)兩尾概率 α， 由附表 2查出相應的臨界值 uα。 例 4： 已知 u ~N（ 0， 1）， 試求 uα： ( ???? ）（） ?? uuPuu ＜P（ 1） （ 2） ( ???? ）?? uuuP解： （ 1） ????? ）（）（ ??? uuPuu ＜P6 4 4 8 5 ?u（ 2） ）（）（??? uuPuu ＜P ????）（ ?? uuuP ????? 1 ??? ?u2. 二項分布 二項分布（ binomial distribution） 是一種最常見的、典型的離散型隨機變量的概率分布。 有些試驗只有非此即彼兩種結果，這種由非此即彼的事件構成的總體，稱為二項總體。 結果“此”用變量 1表示， 概率為 p 結果“彼”用變量 0表示， 概率為 q pxP ?? )1( qxP ?? )0( 1?? qp對于 n次獨立的試驗，如果每次試驗結果出現(xiàn)且只出現(xiàn)對立事件 A與 A中之一，在每次試驗中出現(xiàn) A的概率是 p（ 0p1），因而出現(xiàn)對立事 A件的概率是 1p=q， 則稱這一連串重復的獨立試驗稱為 n重貝努利試驗。 貝努利試驗 在 n重貝努利試驗中，事件 A恰好發(fā)生 m（ 0≤m≤n） 次的概率為： )(mPn mnmmn qpC ??其中： 1?? qpmnmmnmn qpCP ??)(0?p m＝ 0， 1， 2… ， n 二項分布的定義 設隨機變量 x（ 概率為 P的事件 A出現(xiàn)的次數(shù) ） 所有可能取的值為零和正整數(shù)： 0， 1， 2， … ， n， 且有 其中： 0?q 1?? qp m＝ 0， 1， 2… ， n 則稱隨機變量 x服從參數(shù)為 n和 p的二項分布， 記為 x ～ B（ n, p） ? 只有兩種可能結果的屬性資料服從二項分布。如：存活、治愈、孵化、性別、陽（陰）性等資料（往往以百分率計算）。 二項分布的特點 （ 1）當 p值較小且 n不大時，分布是偏倚的，隨著 n的增大 ，分布逐漸趨于對稱 00 5 10 15 20 25 30p= n =5 n =20 n =50 （ 2）當 p值趨于 ，分布趨于對稱 （ 3）對于固定的 n及 p， 當 m增加時， Pn（ m） 先隨之增加并達到其極大值，以后又下降 （ 4）二項分布在 n較大，且 np5， np、 nq較接近時，接近正態(tài)分布， n→∞ 時服從正態(tài)分布，即二項分布的極限是正態(tài)分布 （ 5）二項分布的平均數(shù)為： npμ ?npq?2?方差為： npq??標準差為： 例 4：某奶牛場情期受胎率為 ，該場對 30頭發(fā)情母牛配種，使 24頭母牛一次配種受胎的概率為多少？ 解： ?p 30?n 24?m)24(30P 6242430 )()(C?624 )()()2430(2430?。?！???%? ???? npμ ????? n p q? ??? npq? 二項分布的概率計算 課堂練習： 用某種常規(guī)藥物治療豬瘟的治愈率為 ，對 20頭患豬瘟的肥育豬進行治療，問 20頭豬中 16頭豬治愈的概率是多少？ 解： ?p 20?n 16?m)16(20P 4161620 )()(C?416 )()()1620(1620?。。???%? ???? npμ ????? npq? ??? npq?3. 泊松分布 當二項分布中的 n→∞ ， p→0 時，二項分布趨向于一種新的分布 —— 泊松分布（普哇松分布） （ Poisson’s distribution） 當試驗次數(shù)（或稱觀測次數(shù)）很大，而某事件出現(xiàn)的概率很小，則離散型隨機變量 x服從于泊松分布。 泊松分布的定義 若隨機變量 x（ x = m） 只取零和正整數(shù)值 0， 1， 2， … ，且其概率分布為： )( mxP ? ?? ?? emm!0??其中： ? = np， 是一個常量，且 ?e則稱 x服從參數(shù)為 λ的泊松分布， 記為 x ～ P（ λ） ? 泊松分布主要是用來描述小概率事件發(fā)生的概率 單位空間中某些野生動物數(shù) 畜群中的畸形 個體數(shù) 畜群中某些遺傳性疾病的患病數(shù) ? 泊松分布不是用來描述幾乎不可能發(fā)生的事件的概率 山無棱，天地合 南京六月飛雪 （ 1）泊松分布只有一個參數(shù) λ， λ= np。 泊松分布的特點 λ既是泊松分布的平均值 μ， 又是方差 σ2， 即： 2??? ??（ 2）泊松分布的圖形決定于 λ， λ值愈小分布愈偏倚，隨著 λ的增大，分布趨于對稱。 當 λ=20時分布接近于正態(tài)分布；當λ=50時，可以認為泊松分布呈正態(tài)分布。 泊松分布的概率計算 例 5： 某大型豬場因某種疾病死亡的豬數(shù)呈泊松分布。已知該場平均每年因這種疾病死亡的豬數(shù)為 ，問 2022年該場因這種疾病死亡的豬數(shù)為 15頭的概率是多少？ ?? ??解： 根據(jù)泊松分布的性質可知： 15?m)15( ?xP 15!15 ?? e?2022年該場因這種疾病死亡的豬數(shù)為 15頭的概率是 %。 )( mxP