【正文】 變式訓練 2 已知點 P 是圓 O ： x2＋ y2＝ 9 上的任意一點，過P 作 PD 垂直 x 軸于 D ，動點 Q 滿足 DQ→＝23DP→. ( 1) 求動點 Q 的軌跡方程； ( 2) 已知點 E ( 1,1) ，在動點 Q 的軌跡上是否存在兩個不重合的兩點 M 、 N ，使 OE→＝12( OM→＋ ON→) ( O 是坐標原點 ) ，若存在，求出直線 MN 的方程，若不存在，請說明理由． 解 ( 1) 設 P ( x 0 ， y 0 ) ， Q ( x ， y ) ，依題意，則點 D 的坐標為 D ( x 0 ， 0) ，所以 DQ→＝ ( x － x 0 ， y ) ， DP→＝ (0 ， y 0 ) ， 又 DQ→＝23DP→，故????? x － x 0 ＝ 0 ，y ＝23y 0 ，即????? x 0 ＝ x ，y 0 ＝32y ， 因為 P 在圓 O 上，故有 x20＋ y20＝ 9 ， 所以 x2＋??????3 y22＝ 9 ，即x29＋y24＝ 1 ， 所以點 Q 的軌跡方程為x29＋y24＝ 1. ( 2) 假設橢圓x29＋y24＝ 1 上存在不重合的兩點 M ( x1， y1) ， N ( x2， y2) 滿足 OE→＝12( OM→＋ ON→) ， 則 E ( 1,1) 是線段 MN 的中點， 且有??????? x1＋ x22＝ 1 ，y1＋ y22＝ 1 ，即????? x1＋ x2＝ 2 ，y1＋ y2＝ 2. 又 M ( x1， y1) ， N ( x2， y2) 在橢圓x29＋y24＝ 1 上， 所以????? x219＋y214＝ 1 ，x229＋y224＝ 1 ， 兩式相減，得( x1－ x2) ( x1＋ x2)9＋( y1－ y2) ( y1＋ y2)4＝ 0 ， 所以 kMN＝y(tǒng)1－ y2x1－ x2＝－49， 故直線 MN 的方程為 4 x ＋ 9 y － 13 ＝ 0. 所以橢圓上存在點 M ， N 滿足 OE→＝12( OM→＋ ON→) ， 此時直線 MN 的方程為 4 x ＋ 9 y － 13 ＝ 0. 三審圖形抓特點 在不少數(shù)學高考試題中，問題的條件往往是以圖形的形式給出，或將條件隱含在圖形之中，因此在審題時，要善于觀察圖形，洞 悉圖形所隱含的特殊的關系、數(shù)值的特點、變化的趨勢．抓住圖形的特征，運用數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，是破解考題的關鍵． 例 3 ( 2020 安徽 ) 給定兩個長度為 1 的平面向量 OA→和 OB→，它們的夾角為 120176。 . 如圖所示，點 C 在以 O 為圓心的圓弧 A B 上變動，若 OC→＝ x OA→＋ y OB→，其中 x ， y ∈ R ，則 x ＋ y 的最大值是 ______ ． 審題路線圖 〈觀察方向一〉 向量 OA→、 OB→、 OC→均為單位向量 ( 注意三向量的關系 ) OC→＝ x OA→＋ y OB→ ( 將向量關系轉化為數(shù)關系 ) OC→2＝ ( x OA→＋ y OB→)2＝ x2＋ y2－ xy ＝ 1 ( 化為關于 x ＋ y 的不等式 ) ( x ＋ y )2＝ 1 ＋ 3 xy ≤ 1 ＋ 3 ( x ＋ y )24 ( 要關注等號成立的條件 ) x ＋ y ≤ 2 〈觀察方向二〉 從圖形上看， ∠ AOC ＝ α 的大小影響 x ＋ y 的大小 ( 將向量關系轉化為 α 與 x ＋ y 的關系 ) ????? OC→ OA→＝ x OA→2＋ y OA→ OB→OC→ OB→＝ x OA→ OB→＋ y OB→2 即????? c os α ＝ x －y2c os ( 120176。 － α ) ＝－12x ＋ y ( 構造 x ＋ y 關于 α 的函數(shù) ) x ＋ y ＝ 2 [ c os α ＋ c os( 120176。 － α )] ( 三角函數(shù)化簡 ) x ＋ y ＝ 2si n??????α ＋ 30176。 ≤ 2 〈觀察方向三〉 觀察圖形 圓弧 AB 具有對稱性 ( OC→可能在邊界，在邊界則有兩種可能 ) OC→若與 OA→重合或與 OB→重合： x ＋ y ＝ 1 ( 從圖形特征看， C 可為 AB 的中點 ) 若 C 為圓弧 AB 的中點，則 x ＝ y ＝ 1 x ＋ y 的最大值應為 2 解析 建立如圖所示的坐標系， 則 A (1,0) ， B (c os 120176。 ， sin 120176。 ) ， 即 B ( －12，32) ． 設 ∠ A OC ＝ α ，則 OC→＝ (c os α ， sin α ) ． ∵ OC→＝ x OA→＋ y OB→ ＝ ( x, 0) ＋????????－y2，32y ＝ (c os α ， sin α ) ． ∴????? x －y2＝ c os α ，32y ＝ sin α . ∴??????? x ＝sin α3＋ c os α ，y ＝2sin α3， ∴ x ＋ y ＝ 3 sin α ＋ c os α ＝ 2sin ( α ＋ 30176。 ) ． ∵ 0176。 ≤ α ≤ 120176。 ， ∴ 30176。 ≤ α ＋ 30176。 ≤ 150176。 . ∴ x ＋ y 有最大值 2 ， 當 α ＝ 60176。 時取最大值 ． 答案 2 點評 從上面三種審題角度看，認真審圖，抓住圖形特征，解題快又準，所以觀察方向三值得考慮． 變式訓練 3 過圓 C ： ( x － 1)2＋ ( y － 1)2＝ 1 的圓心，作直線分別交 x 、 y 正半軸于點 A 、 B ， △ AOB 被圓分成四部分 ( 如圖 ) ，若 這四部分圖形面積滿足 S1＋ S Ⅳ ＝ S Ⅱ ＋ S Ⅲ ， 則這樣的直線 AB 有 ( ) A ． 0 條 B ． 1 條 C ． 2 條 D ． 3 條 解析 S Ⅳ ＝π2， S Ⅱ ＝ 1 －π4， 如圖，設直線傾斜角為 α??????π2 α π ， 作 CM ⊥ y 軸于 M ，作 CN ⊥ x 軸于 N ，則 ∠ CAN ＝ π － α ， ∠ BCM＝ π － α ， ∠ ACN ＝ α －π2. ∵ CM ＝ CN ＝ 1 ， ∴ BM ＝－ t an α ， AN ＝－1t an α， ∴ S Ⅲ ＝－12t an α －12(π － α ) ， S Ⅰ ＝12t an α－12 ??????α －π2