【正文】 ( 1) a1＝ S1＝14a21＋12a1?14a21－12a1＝ 0 ， 因為 a10 ，故 a1＝ 2 ； 當 n ≥ 2 時， an＝ Sn－ Sn － 1 ＝14a2n＋12an－14a2n － 1－12an － 1， 14( a2n－ a2n － 1) －12( an＋ an － 1) ＝ 0 ， 即 ( an＋ an － 1)( an－ an － 1－ 2) ＝ 0. 因為 an0 ，所以 an－ an － 1＝ 2 ，即 { an} 為等差數(shù)列， 所以 an＝ 2 n ( n ∈ N*) ． 點評 從審題路線圖可以看出，細節(jié)對思維的方向不斷地修正著． ( 2) c1＝ b6＝ b3＝ a3＝ 6 ， c2＝ b8＝ b4＝ b2＝ b1＝ a1＝ 2 ， n ≥ 3 時， cn＝ b2n＋ 4 ＝ b 2n － 1＋ 2 ＝ b 2n － 2＋ 1 ＝ a 2n － 2＋ 1 ＝ 2n － 1＋ 2 ， 此時， Tn＝ 8 ＋ (22＋ 2) ＋ (23＋ 2) ＋ ? ＋ (2n － 1＋ 2) ＝ 2n＋ 2 n ； 當 n ＝ 2 時， T2＝ 22＋ 2 2 ＝ 8 ＝ c1＋ c2. 所以 Tn＝????? 6 ， n ＝ 1 ，2n＋ 2 n ， n ≥ 2 且 n ∈ N*. 變式訓練 6 數(shù)列 { a n } 中， a 1 ＝ 1 ，且 a n ＋ 1 ＝ S n ( n ≥ 1 ， n ∈ N*) ，數(shù)列 { b n } 是等差數(shù)列，其公差 d 0 ， b 1 ＝ 1 ，且 b 3 、 b 7 ＋ 2 、3 b 9 成等比數(shù)列． ( 1) 求數(shù)列 { a n } 、 { b n } 的通項公式； ( 2) 設數(shù)列 { c n } 滿足 c n ＝ a n b n ，求 { c n } 的前 n 項和 T n . 解 ( 1) 由已知有 Sn ＋ 1－ Sn＝ Sn，即 Sn ＋ 1＝ 2 Sn ( n ∈ N*) ， ∴ { Sn} 是以 S1＝ a1＝ 1 為首項， 2 為公比的等比數(shù)列． ∴ Sn＝ 2n － 1. 由 an＝????? S1 ( n ＝ 1 ) ，Sn－ Sn － 1 ( n ≥ 2 ) ， 得 an＝????? 1 ( n ＝ 1 ) ，2n － 2 ( n ≥ 2 ) . ∵ b3， b7＋ 2 ,3 b9成等比數(shù)列， ∴ ( b7＋ 2)2＝ b3 3n － 1 ( n ∈ N*) ( 代數(shù)式運算 ) bn＝ an＋ ( － 1)nln an＝ 2 江蘇 ) 在銳角 △ ABC 中，角 A 、 B 、 C 的對邊分別為a 、 b 、 c . 若ba＋ab＝ 6c os C ，則t an Ct an A＋t an Ct an B的值是 ________ ． 審題路線圖 〈觀察方向一〉 觀察條件：ba＋ab＝ 6c os C ( 數(shù)式中既有邊又有角，應統(tǒng)一 ) ba＋ab＝ 6 a2＋ b2－ c22 ab ( 將條件轉(zhuǎn)化為簡潔形式 ) a2＋ b2＝32c2 觀察結(jié)論所求：t an Ct an A＋t an Ct an B ( 考慮到在 △ AB C 中的正、余弦定理，切化弦是必有之路 ) t an Ct an A＋t an Ct an B＝1c os C ) ． ∵ 0176。 OB→OC→ OA→＝ x OA→2＋ y OA→ ) ， 即 B ( －12，32) ． 設 ∠ A OC ＝ α ，則 OC→＝ (c os α ， sin α ) ． ∵ OC→＝ x OA→＋ y OB→ ＝ ( x, 0) ＋????????－y2，32y ＝ (c os α ， sin α ) ． ∴????? x －y2＝ c os α ，32y ＝ sin α . ∴??????? x ＝sin α3＋ c os α ，y ＝2sin α3， ∴ x ＋ y ＝ 3 sin α ＋ c os α ＝ 2sin ( α ＋ 30176。 c os2α0 ， ∴ y 在 x ∈??????π2， π 上為增函數(shù)． 又 α →π2時， y → － ∞ ； α → π 時， y → ＋ ∞ ， ∴ 存在唯一的 α ∈??????π2， π ，使 y ＝ 0 ， 即 S Ⅰ ＋ S Ⅳ ＝ S Ⅱ ＋ S Ⅲ . 答案 B 四審結(jié)構(gòu)定方案 數(shù)學問題中的條件和結(jié)論，很多都是以數(shù)式的結(jié)構(gòu)形式進行搭配和呈現(xiàn)的．在這些問題的數(shù)式結(jié)構(gòu)中，往往都隱含著某種特殊關系，認真審視數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，對數(shù)式結(jié)構(gòu)進行深入分析，加工轉(zhuǎn)化，可以尋找到突破問題的方案． 例 4 ( 2020 山東 ) 等比數(shù)列 { an} 中， a1， a2， a3分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù)，且 a1， a2， a3中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列 . 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 (1) 求數(shù)列 { an} 的通項公式； ( 2) 若數(shù)列 { bn} 滿足： bn＝ an＋ ( － 1)nln an，求數(shù)列 { bn} 的前 n項和 Sn. 審題路線圖 等比數(shù)列 { an} 的前三項 a a a3分別是 表中的第一、二、三行中的某一個數(shù) ( 從條件看 a1有三種選擇 ) a a a3中的任何兩個數(shù)不在表中的同一列 ( 根據(jù)條件分類討論，從表中數(shù)據(jù)特征可求 ) a1＝ 2 a2＝ 6 a3＝ 18 ( 數(shù)列 { an} 是等比數(shù)列 ) an＝ 2 3n － 1＋ ( － 1)n(ln 2 － l n 3) ＋ ( － 1)nn l n 3 ， 所以 Sn＝ 2( 1 ＋ 3 ＋ ? ＋ 3n － 1) ＋ [ － 1 ＋ 1 － 1 ＋ … ＋ ( － 1)n] 2n － 1 ( n ∈ N*) ． 規(guī)律方法總結(jié) 1 ． 解題先審題，養(yǎng)成認真審題，縝密思考的良好習慣． 2 ．審題要慢要細，要謹慎思考： (1) 全部的條件和結(jié)論； (2)必要的圖形和圖表； (3) 數(shù)學式子和數(shù)學符號．要善于捕捉題目中的有效信息，要有較強的洞察力和顯化隱含條件的能力．要制訂和用好審題路線圖． 3 ．審題路線圖： 一審條件挖隱含 → 二審結(jié)論會轉(zhuǎn)換 → 三審圖形抓特點 → 四審數(shù)表找規(guī)律 → 五審結(jié)構(gòu)定方案 → 六審細節(jié)更完善 .