20xx屆高三數(shù)學(xué)審題破解(已修改)
2025-11-23 01:01 本頁面
【正文】 第二部分 考 前 增分策略 專題八 審題方法與答題模板 第 1 講 教你審題破解高考不再難 審題是解題的開端，深入細致的審題是成功解題的必要前提．著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說， “ 最糟糕的情況就是學(xué)生沒有弄清問題就進行演算和作圖． ” 為此波利亞總結(jié)出一張“ 怎樣解題表 ” ，將解題的過程分為四個階段．其中第一步弄清問題就是我們常說的審題．審題就是多角度地觀察，由表及里，由條件到結(jié)論，由數(shù)式到圖形，洞察問題實質(zhì)，選擇正確的解題方向．事實上，很多考生往往對 審題掉以輕心，或不知從何處入手進行審題，致使解題失誤而丟分，真是令人痛心不已．本講結(jié)合實例，教你正確的審題方法，給你制訂一條 “ 審題路線圖 ” ，破解高考不再難． 一審條件挖隱含 任何一個數(shù)學(xué)問題都是由條件和結(jié)論兩部分構(gòu)成的．條件是解題的主要素材，充分利用條件間的內(nèi)在聯(lián)系是解題的必經(jīng)之路．條件有明示的，有隱含的，審視條件更重要的是要充分挖掘每一個條件的內(nèi)涵和隱含的信息，發(fā)揮隱含條件的解題功能． 例 1 已知 0 ≤ α β γ 2 π ，且 s in α ＋ s in β ＋ sin γ ＝ 0 ， c os α ＋ c os β ＋ c os γ ＝ 0 ，求 β － α . 審題路線圖 ： 條件 si n α ＋ si n β ＋ s in γ ＝ 0 ， c os α ＋ c os β ＋ c os γ ＝ 0 （求的是 β－ α） 構(gòu)造出 β－ α且消去 γ (利用 sin2γ＋ cos2γ＝ 1消元 ) sin α＋ sin β＝－ sin γ ① cos α＋ cos β＝－ cos γ ② ① 2 ＋ ② 2 可得： c os( β － α ) ＝－ 12 條件 0 ≤ α β γ 2π 轉(zhuǎn)化條件 0 β － α 2π β － α ＝2π3或 β － α ＝4π3 ( 注意隱含條件，式子具有明顯的輪換特征 ) ( 同理可以求得 γ － α ＝2π3或 γ － α ＝4π3) 再看條件 0 ≤ α β γ 2π 條件轉(zhuǎn)化： β － α γ － α 定結(jié)論 β － α ＝2π3 根據(jù)審題路線圖，可以規(guī)范地將題目解出． 解 由已知得????? sin α ＋ si n β ＝－ sin γ ， ①c os α ＋ c os β ＝－ c os γ ， ② ①2＋ ②2得 2 ＋ 2( si n α si n β ＋ c os α c os β ) ＝ 1 ， 故 c os( β － α ) ＝－12. 由 0 ≤ α β γ 2π ， 知 0 β － α 2π ，所以 β － α ＝2π3或 β － α ＝4π3. 同理可得 c os( γ － α ) ＝－12， 0 γ － α 2π ， 所以 γ － α ＝2π3或 γ － α ＝4π3. 由于 β γ ，得 β － α γ － α ， 所以 β － α 取小值， γ － α 取大值，即 β － α ＝2π3. 變式訓(xùn)練 1 在 △ ABC 中， s in A ＝513 ， c os B ＝35 ，求 c os C的值． 解 在 △ ABC 中，由 c os B ＝35 c os π4知π4 B π2. 由 sin A ＝513 sin π4知 0 A π4或3π4 A π . 若3π4 A ，則 π A ＋ B ，不符合題意， ∴ 0 A π4， ∴ c os A ＝ 1 － sin2A ＝1213， 又 sin B ＝ 1 － c os2B ＝45， ∴ c os C ＝ c os [π － ( A ＋ B )] ＝－ c os( A ＋ B ) ＝－ c os A c os B ＋ sin A sin B ＝－121335＋51345＝－1665. 二審結(jié)論會轉(zhuǎn)換 問題解決的最終目標就是求出結(jié)論或說明已給結(jié)論正確 或錯誤．因而解決問題時的思維過 程大多都是圍繞著結(jié)論這個目標進行定向思考的．審視結(jié)論，就是在結(jié)論的啟發(fā)下，探索已知條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系和轉(zhuǎn)化規(guī)律．善于從結(jié)論中捕捉解題信息，善于對結(jié)論進行轉(zhuǎn)化，使之逐步靠近條件，從而發(fā)現(xiàn)和確定解題方向． 例 2 已知拋物線 C ： x2＝ 2 py ( p 0) 的焦點為 F ， A 、 B 是拋物線 C 上異于坐標原點 O 的不同兩點，拋物線 C 在點 A ，B 處的切線分別為 l1， l2，且 l1⊥ l2， l1與 l2相交于點 D . ( 1) 求點 D 的縱坐標； ( 2) 證明：直線 AB 過定點． 審題路線圖 求點 D的縱坐標 (D是直線 l1與 l2的交點 ) 求 l1與 l2的直線方程 設(shè) A 、 B 兩點的坐標，并求 l 1 ， l 2 的斜率 聯(lián)立兩直線方程解方程組 直線 AB 過定點 ( 審視直線 AB 過定點，定點必在 y 軸上，猜為 F ) 轉(zhuǎn)化為 A 、 F 、 B 三點共線 用向量共線證或用斜率相等證 不成功可重新調(diào)整定點，用好圖象的對稱性 通過審視結(jié)論，我們畫出了審題路線圖，根據(jù)審題路線圖，即可規(guī)范求解． (1) 解 如圖，設(shè)點 A ， B 的坐標分別為 ( x1， y1) ， ( x2， y2) ． ∵ l1， l2分別是拋物線 C 在點 A ， B 處的 切線， ∴ 直線 l1的斜率 k1＝ y ′ | ＝x1p， 直線 l2的斜率 k2＝ y ′ | ＝x2p. ∵ l1⊥ l2， ∴ k1k2＝－ 1 ，得 x1x2＝－ p2. ① ∵ A ， B 是拋物線 C 上的點， ∴ y1＝x212 p， y2＝x222 p. ∴ 直線 l1的方程為 y －x212 p＝x1p( x － x1) ， 直線 l2的方程為 y －x222 p＝x2p( x － x2) ． 1xx?2xx?由????? y －x212 p＝x1p( x － x1)y －x222 p＝x2p( x － x2)解得，????? x ＝x1＋ x22y ＝－p2， ∴ 點 D 的縱坐標為－p2. ( 2) 證明 ∵ F 為拋物線 C 的焦點， ∴ F??????0 ，p2. ∴ AF→＝??????－ x1，p2－x212 p＝????????－ x1，p2－ x212 p， BF→＝??????－ x2，p2－x222 p＝????????－ x2，p2－ x222 p. ∵p2－ x212 pp2－ x222 p＝p2－ x21p2－ x22＝－ x1x2－ x21－ x1x2－ x22＝x1x2， ∴ AF→∥ BF→，即直線 AB 過定點 F .
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