大學(xué)數(shù)學(xué)排列組合(文科生補(bǔ)充)-文庫(kù)吧
2025-07-21 05:05 本頁(yè)面
【正文】 素的所有排列.【排列數(shù)】1. 定義：從n個(gè)不同元素中，任取m()個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)元素中取出m元素的排列數(shù)，用符號(hào)表示.排列數(shù)公式：或，規(guī)定 0!=12. ； ； ； 計(jì)算：= ； = ；= 3. 寫出：a) 從五個(gè)元素a、b、c、d、e中任意取出兩個(gè)、三個(gè)元素的所有排列；b) 由4組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的所有3位數(shù).c) 由0、3組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的所有3位數(shù).(2)例1：⑴ 7位同學(xué)站成一排，共有多少種不同的排法？ 解：?jiǎn)栴}可以看作：7個(gè)元素的全排列——＝5040⑵ 7位同學(xué)站成兩排（前3后4），共有多少種不同的排法？ 解：根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理：7654321＝7！＝5040⑶ 7位同學(xué)站成一排，其中甲站在中間的位置，共有多少種不同的排法？ 解：?jiǎn)栴}可以看作：余下的6個(gè)元素的全排列——=720⑷ 7位同學(xué)站成一排，甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？ 解：根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理：第一步 甲、乙站在兩端有種；第二步 余下的5名同學(xué)進(jìn)行全排列有種，則共有=240種排列方法⑸ 7位同學(xué)站成一排，甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？ 解法一（直接法）：第一步 從（除去甲、乙）其余的5位同學(xué)中選2位同學(xué)站在排頭和排尾有種方法；第二步 從余下的5位同學(xué)中選5位進(jìn)行排列（全排列）有種方法 所以一共有＝2400種排列方法． 解法二：（排除法）若甲站在排頭有種方法；若乙站在排尾有種方法；若甲站在排頭且乙站在排尾則有種方法．所以甲不能站在排頭，乙不能排在排尾的排法共有－＋=2400種． 小結(jié)一：對(duì)于“在”與“不在”的問題，常常使用“直接法”或“排除法”，對(duì)某些特殊元素可以優(yōu)先考慮．例2 ： 7位同學(xué)站成一排． ⑴甲、乙兩同學(xué)必須相鄰的排法共有多少種？解：先將甲、乙兩位同學(xué)“捆綁”在一起看成一個(gè)元素與其余的5個(gè)元素（同學(xué)）一起進(jìn)行全排列有種方法；再將甲、乙兩個(gè)同學(xué)“松綁”進(jìn)行排列有種方法．所以這樣的排法一共有＝1440種．⑵甲、乙和丙三個(gè)同學(xué)都相鄰的排法共有多少種？ 解：方法同上，一共有＝720種．⑶甲、乙兩同學(xué)必須相鄰，而且丙不能站在排頭和排尾的排法有多少種？ 解：將甲、乙兩同學(xué)“捆綁”在一起看成一個(gè)元素，此時(shí)一共有6個(gè)元素，因?yàn)楸荒苷驹谂蓬^和排尾，所以可以從其余的5個(gè)元素中選取2個(gè)元素放在排頭和排尾，有種方法；將剩下的4個(gè)元素進(jìn)行全排列有種方法；最后將甲、乙兩個(gè)同學(xué)“松綁”進(jìn)行排列有種方法．所以這樣的排法一共有＝960種方法．小結(jié)二：對(duì)于相鄰問題，常用“捆綁法”（先捆后松）．例3： 7位同學(xué)站成一排．⑴甲、乙兩同學(xué)不能相鄰的排法共有多少種？解法一：（排除法）解法二：（插空法）先將其余五個(gè)同學(xué)排好有種方法，此時(shí)他們留下六個(gè)位置（就稱為“空”吧），再將甲、乙同學(xué)分別插入這六個(gè)位置（空）有種方法，所以一共有種方法．⑵甲、乙和丙三個(gè)同學(xué)都不能相鄰的排法共有多少種？ 解：先將其余四個(gè)同學(xué)排好有種方法，此時(shí)他們留下五個(gè)“空”，再將甲、乙和丙三個(gè)同學(xué)分別插入這五個(gè)“空”有種方法，所以一共有＝1440種．小結(jié)三：對(duì)于不相鄰問題，常用“插空法”（特殊元素后考慮）．(1)1．組合的概念：一般地，從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合．
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