圓錐曲線的參數(shù)方程-文庫吧
2025-07-21 04:45 本頁面
【正文】 3|＝|5cos(θ＋φ)－13|，從而當cos θ＝，sin θ＝－時，cos(θ＋φ)＝1，d取得最小值.要點二 雙曲線參數(shù)方程的應用例2 求證：雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)上任意一點到兩漸近線的距離的乘積是一個定值.證明 由雙曲線－＝1，得兩條漸近線的方程是：bx＋ay＝0，bx－ay＝0，設雙曲線上任一點的坐標為(asec φ，btan φ)，它到兩漸近線的距離分別是d1和d2，則d1d2＝＝＝(定值).規(guī)律方法 在研究有關圓錐曲線的最值和定值問題時，使用曲線的參數(shù)方程非常簡捷方便，其中點到直線的距離公式對參數(shù)形式的點的坐標仍適用，另外本題要注意公式sec2φ－tan2φ＝1的應用.跟蹤演練2 如圖，設P為等軸雙曲線x2－y2＝1上的一點，F(xiàn)F2是兩個焦點，證明：|PF1||PF2|＝|OP|2.證明 設P(sec φ，tan φ)，∵F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，∴|PF1|＝＝，|PF2|＝＝，|PF1||PF2|＝＝2sec2φ－1.∵|OP|2＝sec2φ＋tan2φ＝2sec2φ－1，∴|PF1||PF2|＝|OP|2.要點三 拋物線參數(shù)方程的應用例3 設拋物線y2＝2px的準線為l，焦點為F，頂點為O，P為拋物線上任一點，PQ⊥l于Q，求QF與OP的交點M的軌跡方程.解 設P點的坐標為(2pt2，2pt)(t為參數(shù))，當t≠0時，直線OP的方程為y＝x，QF的方程為y＝－2t，它們的交點M(x，y)由方程組確定，兩式相乘，消去t，得y2＝－2x，∴點M的軌跡方程為2x2－px＋y2＝0(x≠0).當t＝0時，M(0，0)滿足題意，且適合方程2x2－px＋y2＝0.故所求的軌跡方程為2x2－px＋y2＝0. 規(guī)律方法 ＝2px(p＞0)的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，參數(shù)t為任意實數(shù)，其基本思想是選取適當?shù)膮?shù)作為中間變量，使動點的坐標分別與參數(shù)有關，從而得到動點的參數(shù)方程，然后再消去參數(shù)，化為普通方程.跟蹤演練3 已知拋物線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，其中p＞0，焦點為F，準線為l.
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