【正文】 、定值問題 【例2】 已知橢圓C經(jīng)過點(diǎn)A，兩個(gè)焦點(diǎn)為(－1,0)、(1,0)． (1)求橢圓C的方程；(2)E、F是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個(gè)定值．[思維啟迪]可設(shè)直線AE的斜率來計(jì)算直線EF的斜率，通過推理計(jì)算消參．解析 (1)解　由題意，c＝1，可設(shè)橢圓方程為＋＝1.因?yàn)锳在橢圓上，所以＋＝1，解得b2＝3，b2＝－(舍去)，所以橢圓方程為＋＝1.(2)證明　設(shè)直線AE的方程為y＝k(x－1)＋，代入＋＝1.得(3＋4k2)x2＋4k(3－2k)x＋42－12＝0.設(shè)E(xE，yE)，F(xiàn)(xF，yF)．因?yàn)辄c(diǎn)A在橢圓上，所以xE＝y(tǒng)E＝kxE＋－，在上式中以－k代替k，可得xF＝，yF＝－kxF＋＋k，所以直線EF的斜率kEF＝＝＝，即直線EF的斜率為定值，其值為.[探究提高]求定值問題常見的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)．(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．變式訓(xùn)練2 橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，該橢圓經(jīng)過點(diǎn)P且離心率為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l：y＝kx＋m與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)(A，B不是左，右頂點(diǎn))，且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)，求證：直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．(1)解　設(shè)橢圓方程為＋＝1 (ab0)，由e＝＝，得a＝2c，∵a2＝b2＋c2，∴b2＝3c2，則橢圓方程變?yōu)椋?.又橢圓過點(diǎn)P，將其代入求得c2＝1，故a2＝4，b2＝3，即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.(2)證明　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立則①又y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝.∵橢圓的右頂點(diǎn)為A2(2,0)，AA2⊥BA2，∴(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0，∴y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0，∴＋＋＋4＝0，∴7m2＋16mk＋4k2＝0，解得m1＝－2k，m2＝－，由①，得3＋4k2－m20，當(dāng)m1＝－2k時(shí)，l的方程為y＝k(x－2)，直線過定點(diǎn)(2,0)，與已知矛盾．當(dāng)m2＝－時(shí)，l的方程為y＝k，直線過定點(diǎn)，∴直線l過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為.題型三 圓錐曲線中的探索性問題 【例3】　已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓C經(jīng)過點(diǎn)A(2,3)，且點(diǎn)F(2,0)為其右焦點(diǎn)．(1)求橢圓C的方程；(2)是否存在平行于OA的直線l，使得直線l與橢圓C有公共點(diǎn)，且直線OA與l的距離等于4？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．[思維啟迪]可先假設(shè)l存在，然后根據(jù)與C有公共點(diǎn)和與OA距離等于4兩個(gè)條件探求．解析解　方法一　(1)依題意，可設(shè)橢圓C的方程為＋＝1(ab0)，且可知其左焦點(diǎn)為F′(－2,0)．從而有解得又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，故橢圓C的方程為＋＝1.(2)假設(shè)存在符合題意的直線l，設(shè)其方程為y＝x＋t.由得3x2＋3tx＋t2－12＝0.因?yàn)橹本€l與橢圓C有公共點(diǎn)，所以Δ＝(3t)2－43(t2－12)≥0，解得－4≤t≤4.另一方面，由直線OA與l的距離d＝4，得＝4，解得t＝177。2.由于177。2?[－4，4]，所以符合題意的直線l不存在．方法二　(1)依題意，可設(shè)橢圓C的方程為＋＝1(ab0)，且有從而a2＝16.所以橢圓C的方程為＋＝1.(2)同方法一．[探究提高]解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系的存在性問題，往往是先假設(shè)所求的元素存在，然后再推理論證，檢驗(yàn)說明假設(shè)是否正確．變式訓(xùn)練3 (2012江西)已知三點(diǎn)O(0,0)，A(－2,1)，B(2,1)，曲線C上任意一點(diǎn)M(x，y)滿足|＋|＝(＋)＋2.(1)求曲線C的方程；(2)動(dòng)點(diǎn)Q(x0，y0)(－2x02)在曲線C上，：是否存在定點(diǎn)P(0，t)(t0)，使得l與PA，PB都相交，交點(diǎn)分別為D，E，且△QAB與△PDE的面積之比是常數(shù)？若存在，求t的值；若不存在，說明理由．解　(1)由＝(－2－x,1－y)，＝(2－x,1－y)，|＋|＝，(＋)＝(x，y)(0,2)＝2y，由已知得＝2y＋2，化簡(jiǎn)得曲線C的方程：x2＝4y.(2)假設(shè)存在點(diǎn)P(0，t)(t0)滿足條件