高一數(shù)學(xué)平面向量的概念及線性運(yùn)算-文庫吧
2024-10-22 09:01 本頁面
【正文】 → 共線 ， 又有公共點(diǎn) B， ∴ A、 B、 D三點(diǎn)共線 ， 故選 A. 4． 已知 △ ABC中， AB―→ ＝ a， AC―→ ＝ b，點(diǎn) D在 BC上，且 BD―→ ＝ 3DC―→ ，若用 a、 b表示 AD―→ ，則 AD―→ ＝ ________. 解析： AD ― → ＝ AB ― → ＋ BD ― → ＝ AB ― → ＋34BC ― → ＝ a ＋34( b － a ) ＝14a ＋34b . 答案：14a ＋34b (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第 60～ 61頁 ) 向量的有關(guān)概念 【 例 1】 給出下列各命題： ① 零向量沒有方向； ② 若 |a|＝ |b|， 則 a＝ b； ③ 單位向量都相等； ④ 向量就是有向線段； ⑤ 若 a＝ b， b＝ c， 則 a＝ c； ⑥ 若四邊形 ABCD是平行四邊形 ， 則 AB―→ ＝ DC―→ ， BC―→ ＝ DA―→ . 其中真命題是 ________． 思路點(diǎn)撥： 正確理解向量的有關(guān)概念是解決本題的關(guān)鍵 ， 注意到特殊情況 ， 否定某個(gè)命題只要舉出一個(gè)反例即可 ． 解析： ① 該命題不正確 ． 零向量不是沒有方向 ， 而是方向任意； ② 該命題不正確 ． |a|＝ |b|只是說明這兩個(gè)向量的模相等 ， 但其方向未必相同； ③ 該命題不正確 ． 單位向量只是模均為單位長度 1， 而對(duì)方向沒有要求； ④ 該命題不正確 ． 有向線段只是向量的一種表示形式 ， 不能把兩者等同起來； ⑤ 該命題正確 ． 由向量相等的定義知 ， a與 b的模相等 ， b與 c的模相等 ， 從而 a與 c的模相等；又 a與 b的方向相同 ， b與 c的方向相同 ， 從而 a與 c的方向也必相同 ， 故 a＝ c； ⑥ 該命題不正確 ． 如圖所示 ， 顯然有 AB―→ ＝ DC―→ ， 但 BC―→ ≠DA―→ . 綜上可知 ， 真命題只有 ⑤ . 答案： ⑤ 大小與方向是向量的兩個(gè)要素，兩非零向量 a、 b相等的充要條件應(yīng)是 a，b的方向相同且模相等，向量相等是可傳遞的．兩個(gè)向量不能比較大小，但兩個(gè)向量的?？梢员容^大小． 向量的線性運(yùn)算 【例 2 】 ( 2 010 年高考全國卷 Ⅱ ) △ AB C 中 ， 點(diǎn) D 在邊 AB 上 ， CD 平分 ∠ A CB .設(shè) CB ― →＝ a ， CA ― → ＝ b ， | a |＝ 1 ， | b |＝ 2 ， 則 CD ― → 等于 ( ) ( A )13a ＋23b ( B )23a ＋13b ( C )35a ＋45b ( D )45a ＋35b 思路點(diǎn)撥： 畫出圖形 ， 根據(jù)向量的加法 、 減法 、 數(shù)乘的運(yùn)算法則建立未知向量 CD―→與已知向量 a， b的關(guān)系 ． 解析： ∵ CD 平分 ∠ AC B ， ∴ACBC＝ADBD. 又 ∵ CB ― → ＝ a ， CA ― → ＝ b ， | a |＝ 1 ， | b |＝ 2 ， ∴ADBD＝21. ∴ CD ― → ＝ CB ― → ＋ BD ― → ＝ a ＋13BA ― → ＝ a ＋13( CA ― → － CB ― → ) ＝ a ＋13( b － a ) ＝23a ＋13b ， ∴ 選 B. 在向量化簡或求向量時(shí)要盡可能將涉及的向量轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中 ， 運(yùn)用平行四邊形法則或三角形法則求解 ． 有時(shí)還應(yīng)充分利用平面幾何的一些性質(zhì)定理 ， 如三角形中的中位線定理 ， 相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等平面幾何的知識(shí) ． 變式探究 21 ： ( 201 0 年山東濟(jì)南模擬 ) 已知平面上不共線的四點(diǎn) O 、 A 、 B 、 C .若 OA ― →－ 3 OB ― → ＋ 2 OC ― → ＝ 0 ， 則 |AB ― → ||BC ― → |等于 __ ___ _ ． 解析： 由已知得， OB ― → － OA ― → ＝ 2 ( OC ― → － OB ― → ) ， ∴ AB ― → ＝ 2 BC ― → ， ∴|AB ― → ||BC ― → |＝ 2. 答案： 2 向量共線與三點(diǎn)共線問題 【 例 3】 設(shè)兩個(gè)非零向量 a與 b不共線 ， (1)若 AB―→ ＝ a＋ b， BC―→ ＝ 2a＋ 8b， CD―→ ＝ 3(a－ b)， 求證： A、 B、 D三點(diǎn)共線； (2)試確定實(shí)數(shù) k， 使 ka＋ b和 a＋ kb共線 ． 思路點(diǎn)撥： 解決點(diǎn)共線或向量共線問題 ， 要結(jié)合向量共線定理進(jìn)行 ． (1)證明： ∵ AB―→ ＝ a＋ b， BC―→ ＝ 2a＋ 8b， CD―→ ＝ 3(a－ b)， ∴ BD―
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