高三數(shù)學(xué)三角函數(shù)的最值-文庫(kù)吧
2025-10-08 08:50 本頁(yè)面
【正文】 4 ? 4 ? ∴ 當(dāng) 2x+ =?, 即 x= 時(shí) , f(x) 取得最小值 2 . 4 ? 8 3? 解 : y=2sinxcosx8(sinx+cosx)+19. 0≤ x≤ ?, 求函數(shù) y=sin2x8(sinx+cosx)+19 的最大值和最小值 . 令 t=sinx+cosx, 則 t= 2 sin(x+ ), y=t218t+19=(t4)2+2. 4 ? ∵ 0≤ x≤ ?, ∴ ≤ x+ ≤ . 4 ? 4 ? 4 5? ∴ 1≤ t≤ 2 . ∴ ≤ sin(x+ )≤ 1. 4 ? 2 2 ∴ 當(dāng) t=1, 即 x=? 時(shí) , y 取最大值 27. 當(dāng) t= 2 , 即 x= 時(shí) , y 取最小值 208 2 . 4 ? f(x)=2asin2x2 3 asinx?cosx+a+b(a?0) 的定義域?yàn)?[0, ], 值域?yàn)? [5, 1], 求常數(shù) a, b 的值 . 2 ? 解 : f(x)=a(1cos2x) 3 asin2x+a+b =a(cos2x+ 3 sin2x)+2a+b =2asin(2x+ )+2a+b. 6 ? 由已知 x?[0, ], 2 ? ∴ 2x+ ?[ , ], 6 ? 6 ? 6 7? ∴ ≤ sin(2x+ )≤ 1. 6 ? 1 2 因此由 f(x) 的值域?yàn)? [5, 1] 可得 : a0, 2a ( )+2a+b=1, 1 2 2a 1+2a+b=5, a0, 2a ( )+2a+b=5, 1 2 2a 1+2a+b=1. 或 解得 : a=2, b=5 或 a=2, b=1. y= 的最值及對(duì)應(yīng)的 x 的集合 . (1+sinx)(3+sinx) 2+sinx 解 : y= 2+sinx sin2x+4sinx+3 2+sinx (2+sinx)21 = =2+sinx . 2+sinx 1 令 2+sinx=t, 則 y=f(t)=t (1≤ t≤ 3). t 1 對(duì)于任意的 t1, t2?[1, 3], 且 t1t2 有 f(t1)f(t2)=(t1 )(t2 ) t1 1 t2 1 t1t2 1+t1t2 =(t1t2)( ) 0. 即 f(t1)f(t2)0 ? f(t1)f(t2). ∴ f(t) 在 [1, 3] 上是增函數(shù) . ∴ 當(dāng) t=1 時(shí) , ymin=f(t)min=0, 此時(shí) , sinx=1, x 的集合為 : {x | x=2k? , k?Z}。 2 ? {x | x=2k?+ , k?Z}. 2 ? 當(dāng) t=3 時(shí) , ymax=f(t)max= , 此時(shí) , sinx=1, x 的集合為 : 8 3 y=sin2x+acosx+ a (0≤ x≤ )的最大值為 1, 求 a的值 . 2 ? 5 8 3 2 解 : 由已知 y=cos2x+acosx+ a 5 8 1 2 =(cosx )2+ + a . 4 a2 a 2 5 8 1 2 令 t=cosx, 則 y=(t )2+ + a (0≤ t≤ 1). 4 a2 a 2 5 8 1 2 討論如下 : ② 若 0≤ ≤ 1, 則 t= 時(shí) , 由題設(shè) ymax= + a =1. a 2 a 2 4 a2 5 8 1 2 解得 a=4(舍去 )或 a= . 3 2 解得 a= (舍去 ). 5 12 ① 若 0, 則 t=0 時(shí) , 由題設(shè) ymax= a =1. 5 8 1 2 a 2 ③ 若 1, 則 t=1 時(shí) , 由題設(shè) ymax=
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