高三數(shù)學(xué)不等式練習(xí)題-文庫(kù)吧
2025-10-08 06:59 本頁(yè)面
【正文】 x xn n nn n n nn n? ? ?? ? ? ?? ? ?? ?0 2 20221 11, ,{ } { } m a x，即是遞減數(shù)列，且 要使 x an? 恒成立，只需 a xn? ?{ }max 2。 ??a2 評(píng)注：這是一道不等式、數(shù)列、函數(shù)的綜合問(wèn)題，它以二次曲線為背景，以 4 1直線方程為基礎(chǔ)，建立數(shù)列 {}xn 的遞推關(guān)系式，進(jìn)而證明不等式，并通過(guò)證明數(shù)列 {}xn 是遞減數(shù)列完成解不等式。 診斷檢測(cè) （一）選擇題 1. 若 ac bd a b? ? ?且 ，則0（ ） ( ) ( )( ) ( )A c d B c dC c d D c d? ? ?? 0、 的大小不能確定 2. 已知 a b R a b ab a b aba b、 ，則 ， ， ，? ? ? ?? 2 2 22 2中最大的為（ ） ( ) ( )( ) ( )A a b B abC a b D aba b???2222 2 3. 設(shè) x y? ?0 ，則下列各式中正確的是（ ） ( )( )( )xx yxy yB yx yxy xC xx yy xyD yx yxy x??? ???? ???? ???? ?2222 4. 與不等式 x x?? ?32 0 解集相同的不等式（ ） ( )( )( ) ( ) lg( )( ) ( )( )( )A x x B xC xx D x x? ? ? ? ??? ? ? ? ?3 2 0 2 023 0 3 2 0 5. 已知 a b c、 、 都是不等于 1的正數(shù)，則 lo g lo g lo ga b cb c a? ?的最小值是（ ） （ A） 3 （ B） 3 （ C） 0 （ D）不存在 （二）填空題 6. 設(shè) x y y xy x y? ? ? ? ? ?1 1 0， ，則 ， ， ，從小到大排列是_______________。 7. 使不等式 a b ab a b a b2 2 11 0 2 2? ? ? ? ? ?， ， ，lg ( )都成立的 a b與 的關(guān)系式為 ________________。 8. 不等式 ( )x x x? ? ? ?4 3 4 02 的解集為 ___________。 9. 不等式 | | | |x x? ? ? ?1 1 3的解集為 ______________。 10. 若函數(shù) f x x ax( ) ? ? ?2 1能取得負(fù)值，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是____________。 5 1 （三）解答題 11. 已知 a b c R a b c ab bc ac， ， ，且 求證? ? ? ? ? ? ?? 1 1。 12. 定義在（ 2， 2）上的奇函數(shù) f x() 是減函數(shù)，且 f a f a( ) ( )1 1 02? ? ? ?，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍。 13. 已知 x y Rx y u x y、 且 ，求? ? ? ? ?? 1 4 1的最小值。 14. 設(shè) f x ax bx f f f( ) ( ) ( ) ( )? ? ? ? ? ? ? ?2 1 1 2 2 1 4 2，且 ， ，求的最值。 答案與提示：（一） 1. D 2. C 3. A 4. B 5. D （二） 6. y y xy x， ， ，? ? 7. a b b? ? ?1 0且 8. { | }x x x? ? ?4 1或 9. ( ) ( )?? ? ? ?， ，32 32? 10. a a? ? ?2 2或 （三） 11. 略證：（逆向運(yùn)用公式）由222 cbbccaacbaabRcba ??????? ? ，，有、 ,三式相加并注意a b c? ? ?1 ，則 ab bc ac a b c? ? ? ? ? ?2 2 1( )。 12. 略解：首先考慮定義域有： ? ? ? ?? ? ? ????? ?2 1 22 1 20 32aaa解得 由 ，得f a f a f a f a( ) ( ) ( ) ( )1 1 0 1 12 2? ? ? ? ? ? ? ?，因?yàn)?f x( ) ( , )在 ?1 1 上為減函數(shù)，所以 1 1 2 12? ? ? ? ? ?a a a，即 。 取兩個(gè)范圍的交集得 0 1? ?a 。 注意：求解不等式問(wèn)題切勿忽視函數(shù)的定義域。 13. 略解： u x yx y xy yx? ? ? ? ? ? ? ? ?( )( )1 1 5 4 5 4 9，當(dāng)且僅當(dāng) 4xy yx?即x y? ?3 6， 時(shí)等號(hào)成立，所以 u 的最小值為 9。 注意：若另解為： ? 1 1 4 4 4 2 8? ? ? ? ? ? ? ? ?x y xy xy u x y xy， ?u最小值為 8。這種解法是錯(cuò)誤的，因?yàn)閮纱芜\(yùn)用均值不等式，但取等號(hào)條件分別為 1 4x y?和 x y? ，而這兩式不能同時(shí)成立。 14. 略解：設(shè) f f f( ) ( ) ( )? ? ? ?2 1 1? ?，即 4 2a b a b a b? ? ? ? ?? ?( ) ( )，比較此式兩邊 a b， 的系數(shù)，得 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?4 2 3 1, , ,，依題意，得3 3 1 6? ? ?f ( ) ， )2(10)2(510)1()1(354)1(2 ?????????? fffff ，所以，即，兩式相加得 的最小值是 5，最大值是 10。 注意：有時(shí)變形是不可逆的，本題忽視這一點(diǎn)，易出錯(cuò)。 思想與方法 6 1 結(jié)合下面實(shí)例，挖掘解決不等式問(wèn)題的思路與方法。 例 7 （ 1985年上海市高考題）對(duì)于一切大于 1的自然數(shù) n ，證明：( )( ) ( )1 13 1 15 1 12 1 2 12? ? ? ? ? ?? n n。 證法 1：（ 1）當(dāng) n?2 時(shí)，左邊 ? 169，右邊 ? 54， ?左邊 右邊，不等式成立。 （ 2）假設(shè) n k? 時(shí)不等式成立，即 ( )( ) ( )1 13 1 15 1 12 1 2 12? ? ? ? ? ?? k k，兩邊乘以時(shí)，不等式成立。，即，得1232122384484232]232121[232121)1211(212)1211)(1211()511)(311()1211(22???????????????????????????????????knkkkkkkkkkkkkkkkkkk? 根據(jù)（ 1）、（ 2）對(duì)于大于 1的自然數(shù) n ，原不等式成立。 證法 2：設(shè) A n nn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?( )( ) ( )1 13 1 15 1 12 1 43 65 87 22 1? ? ，，， nnn n 2 1212 2897867564534 ?????? ?? nnn nn nA 2 1212 2897867564534)12 2()78()56()34( 22222 ?????????????? ?? ? ?
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