【正文】 2 2 5 4 a a a a a a? ?? ? ????? ?? ???? ? ? ?2 05 4 2 2 05 4 0 45 82( ) 或。 當(dāng) a x x a a x x a? ? ? ? ? ? ?2 3 2 2 1 2時，由 得 或 ，故 或( )。 14. 已知三個不等式：（ 1） ab?0 ，（ 2） ? ??ca db ，（ 3） bc ad? 。 解法 3：用三角換元法 設(shè) )20(,c s c,s e c 22 ???? ，??? byax ，則 x y a b a b a b a b aba b ba x a ab y b ab? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?se c c sc tan c ottan c ot tan2 2 2 222? ? ? ?? ? ?，當(dāng)且僅當(dāng)，即 ， ， 時等號成立。 解：令 f x( )?0 的兩根為 ??、 ，且 ? ? ? ?? ? ? ?、 ，1 ，于是f x a x x( ) ( )( )? ? ?? ?， ? ?f a( )0 ??，f a f f( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 1 0 1 0? ? ? ?? ? ，由，得41)21()1(100)1)(1( 222 ?????????????? ?????????? ，但a ，? ? ? ?0 1 14? ( )a 。 證法 2：設(shè) A n nn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?( )( ) ( )1 13 1 15 1 12 1 43 65 87 22 1? ? ， nnn n 2 1212 2897867564534 ?????? ?? nnn nn nA 2 1212 2897867564534)12 2()78()56()34( 22222 ?????????????? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ??? ?A n nA nnn2 2 132 142 121 131 151 12 12 12故 ( )( ) ( )? 說明：證明不等式，常用的方法有比較法、綜合法、分析法、數(shù)學(xué)歸納法和反證法。這種解法是錯誤的，因?yàn)閮纱芜\(yùn)用均值不等式，但取等號條件分別為 1 4x y?和 x y? ，而這兩式不能同時成立。 13. 已知 x y Rx y u x y、 且 ，求? ? ? ? ?? 1 4 1的最小值。 ??a2 評注：這是一道不等式、數(shù)列、函數(shù)的綜合問題，它以二次曲線為背景，以 4 1直線方程為基礎(chǔ)，建立數(shù)列 {}xn 的遞推關(guān)系式，進(jìn)而證明不等式，并通過證明數(shù)列 {}xn 是遞減數(shù)列完成解不等式。 解： ?a b c? ? ， ?原不等式等價于 k a ca b a cb c? ?? ? ??，此式恒成立的充要條件是 k a ca b a cb c? ?? ? ??( )m in ? a ca b a cb c b ca b a bb c b ca b a bb c?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ?2 2 2 4， ?當(dāng)且僅當(dāng)b ca b a bb c?? ? ?? ，即當(dāng) a b c， ， 依次成（遞減）等差數(shù)列時，上式 取“ =”號。 評注：指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的純熟運(yùn)用是解本題的關(guān)鍵。 1 不等式 （山東省鄆城第一中學(xué) 274700）張鐘誼 不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)其它各部分知識所必不可少的工具，也是歷年高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容。 2 1 例 3 解不等式 2 5 1x x? ? ?（ 1985年全國高考題） 解法 1：原不等式等價： ( )( )12 5 01 02 5 1 2xxx x? ?? ?? ? ?????? 或 ( )2 2 5 01 0xx ? ?? ???? 解（ 1）、（ 2）得原不等式的解 集為 { | }x x? ? ?52 2 解法 2：設(shè) I x x x x? ? ? ? ? ?{ | } { | }2 5 0 52且 }152|{ ???? xxxA ，則A x x xxxx xx x? ? ? ? ?? ?? ?? ? ??????? ?{ | }( ){ | }2 5 12 5 01 02 5 122從而解得A x x? ? ? ?{ | }52 2。 ??k 4 ，而且 k N? ，故存在正整數(shù) k ? 1 2 3 4， ， ， ，使原不等式恒成立。 診斷檢測 （一）選擇題 1. 若 ac bd a b? ? ?且 ，則0（ ） ( ) ( )( ) ( )A c d B c dC c d D c d? ? ?? 0、 的大小不能確定 2. 已知 a b R a b ab a b aba b、 ，則 ， ， ，? ? ? ?? 2 2 22 2中最大的為（ ） ( ) ( )( ) ( )A a b B abC a b D aba b???2222 2 3. 設(shè) x y? ?0 ，則下列各式中正確的是（ ） ( )( )( )xx yxy yB yx yxy xC xx yy xyD yx yxy x??? ???? ???? ???? ?2222 4. 與不等式 x x?? ?32 0 解集相同的不等式（ ） ( )( )( ) ( ) lg( )( ) ( )( )( )A x x B xC xx D x x? ? ? ? ??? ? ? ? ?3 2 0 2 023 0 3 2 0 5. 已知 a b c、 、 都是不等于 1的正數(shù)，則 lo g lo g lo ga b cb c a? ?的最小值是（ ） （ A） 3 （ B） 3 （ C） 0 （ D）不存在 （二）填空題 6. 設(shè) x y y xy x y? ? ? ? ? ?1 1 0， ，則 ， ， ，從小到大排列是_______________。 14. 設(shè) f x ax bx f f f( ) ( ) ( ) ( )? ? ? ? ? ? ? ?2 1 1 2 2 1 4 2，且 ， ，求的最值。 14. 略解：設(shè) f f f( ) ( ) ( )? ? ? ?2 1 1? ?，即 4 2a b a b a b? ? ? ? ?? ?( ) ( )，比較此式兩邊 a b， 的系數(shù)，得 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?4 2 3 1, , ,，依題意，得3 3 1 6? ? ?f ( ) ， )2(10)2(510)1()1(354)1(2 ?????????? fffff ，所以，即，兩式相加得 的最小值是 5，最大值是 10。本題注意了根據(jù)欲證不等式的特點(diǎn)靈活選擇，并恰當(dāng)?shù)亍胺趴s代換”，這是證不等式不可忽視的兩點(diǎn)。 同理 0 1 14? ? ?? ?( ) ，且等號不同時成立，所以 0 1 1 116? ? ? ??? ? ?( )( )，0 1 1 16 0 0 1 162 2 2? ? ? ? ? ?a a f f a?? ? ?( )( ) ( ) ( )，即，而 a b c Z， ， ? ，所以f f Z f f a a( ) ( ) ( ) ( )0 1 0 1 1 16 1 162 2? ? ?