高一數(shù)學(xué)解三角形-文庫吧
2025-10-08 05:59 本頁面
【正文】 不是最佳選擇 ， 而應(yīng)直接用余弦定理列出關(guān)于 c的方程求解 ． 解： ( 1 ) 由正弦定理知bsi n B＝csi n C， ∴2si n 45176。＝1si n C， ∴ si n C ＝12. 由于 b c ， ∴ B C ， 而 B ＝ 45176。 ， ∴ C ＝ 30176。 . 從而 A ＝ 1 80176。 － B － C ＝ 105 176。 ， 再由正弦定理可得asi n 105176。＝2si n 45176。， ∴ a ＝ 2si n 105176。 ＝ 2si n ( 60176。 ＋ 45176。 ) ＝6 ＋ 22. ( 2 ) 由余弦定理得 a2＝ b2＋ c2－ 2 bc cos A ， ∴ 49 ＝ 25 ＋ c2－ 2 5 c c os 60176。 ， 即 c2－ 5 c － 24 ＝ 0 ， 解得 c ＝ 8 ( c ＝－ 3 舍去 ) ． (1)三角形有三角三邊六元素 ， 只要知道三元素 (至少有一邊 )就可求出其余元素 ． (2)已知兩邊和一邊的對角解三角形時 ， 可有兩解 、 一解 、 無解三種情況 ， 應(yīng)根據(jù)已知條件判斷解的情況 ， 主要是根據(jù)圖形或由 “ 大邊對大角 ” 作出判斷 ． (3)應(yīng)熟練掌握余弦定理及其推論 ． 解三角形時 ， 有時可用正弦定理 ， 也可用余弦定理 ， 應(yīng)注意用哪一個定理更方便 ． 變式探究 11 ： ( 20 10 年高考天津卷 ) 在 △ ABC 中 ， 內(nèi)角 A ， B ， C 的對邊分別是 a ， b ， c .若 a 2 － b 2 ＝ 3 bc ， s i n C ＝ 2 3 s i n B ， 則 A 等于 ( ) ( A ) 30176。 ( B ) 60176。 ( C ) 1 20 176。 ( D ) 15 0176。 解析： ∵ s i n C ＝ 2 3 s i n B ， ∴ 由正弦定理得 c ＝ 2 3 b ， 又由余弦定理得 cos A ＝b2＋ c2－ a22 bc＝－ 3 bc ＋ c22 bc＝－ 3 b ＋ c2 b ＝－ 3 b ＋ 2 3 b2 b＝32. ∴ 在 △ A BC 中， A ＝ 30176。 . 選 A. 利用正 、 余弦定理判定三角形的形狀 【 例 2】 (2020年高考遼寧卷 )在 △ ABC中 ， a， b， c分別為內(nèi)角 A， B， C的對邊 ， 且2asin A＝ (2b＋ c)sin B＋ (2c＋ b)sin C. (1)求 A的大??； (2)若 sin B＋ sin C＝ 1， 試判斷 △ ABC的形狀 ． 審題指導(dǎo)： 解： ( 1 ) 由已知和正弦定理得 2 a2＝ ( 2 b ＋ c ) b ＋ ( 2 c ＋ b ) c ， 應(yīng)用正弦定理將邊角關(guān)系統(tǒng)一成邊的關(guān)系 即 a2＝ b2＋ c2＋ bc ， 結(jié)合余弦定理知 c os A ＝－12， A ＝ 1 20176。 . 根據(jù)結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想余弦定理，求出 A ( 2 ) 由 ( 1 ) 知 ， a2＝ b2＋ c2＋ bc ， ∴ si n2A ＝ si n2B ＋ si n2C ＋ si n B si n C ， 為與條件 si n B ＋ si n C ＝ 1 建立聯(lián)系，化邊為角 又 si n B ＋ si n C ＝ 1 ， 所以 si n B ＝ si n C ＝12， 又 0176。 ＜ B ， C ＜ 90176。 ， ∴ B ＝ C ， 根據(jù)函數(shù)值及角的范圍求得 B ＝ C 所以 △ A BC 是等腰的鈍角三角形 ． 結(jié)合 ( 1 ) 中 A 的大小，形成結(jié)論 依據(jù)已知條件中的邊角關(guān)系判斷三角形形狀時 ， 主要有如下兩條途徑： (1)利用正 、 余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系 ， 通過因式分解 、 配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系 ， 從而判斷三角形的形狀 ． (2)利用正 、 余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系 ， 通過三角恒等變形 ，得出內(nèi)角的關(guān)系 ， 從而判斷三角形的形狀 ． 此時要注意應(yīng)用 A＋ B＋ C＝ π這個結(jié)論 ． 正、余弦定理與其他知識的綜合運用 【例 3 】 ( 2020 年高考浙江卷 ) 在 △ A BC 中 ， 角 A ， B ， C 所對的邊分別為 a ， b ， c ， 且滿足 c os A2＝2 55， AB ― → AC ― → ＝ 3. ( 1 ) 求 △ ABC 的面積 ； ( 2 ) 若 b ＋ c ＝ 6 ， 求 a 的值 ． 思路點撥： 由已知可求出 cos A， sin A以及 bc的值 ， 從而求 S△ ABC；利用余弦定理求 a的值 ． 解： ( 1 ) 因為 cosA2＝2 55， 所以 c os A ＝ 2cos2 A2－ 1 ＝35， ∴ s i n A ＝45. 又 AB ― → AC ― → ＝ 3 ， 所以 bc cos A ＝ 3 ， ∴ bc ＝ 5. ∴ S △ ABC ＝12bc s i n A ＝12 5 45＝ 2. ( 2 ) 由 ( 1 ) 知 ， bc ＝ 5 ， 又 b ＋ c ＝ 6 ， 根據(jù)余弦定理得 a2＝ b2＋ c2－ 2 bc c os A ＝ ( b ＋ c )2－ 2 bc － 2 bc
教學(xué)課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1